Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Una aproximación lineal importante para raíces y potencias es
(ejercicio 15). Esta aproximación, buena para valores de x suficientemente cercanos a cero,
tiene muchas aplicaciones. Por ejemplo, cuando x es pequeña,
21 + x L 1 + 1
2 x
1
1 - x = s1 - xd-1 L 1 + s -1ds -xd = 1 + x
1
21 - x2 = s1 - x2d-1>2 L 1 + a- 1
2 bs -x2 d = 1 + 1
2 x2
2 3 1 + 5x4 = s1 + 5x4d1>3 L 1 + 1
3 A5x4 B = 1 + 5
3 x4
Diferenciales
3.8 Linealización y diferenciales 225
s1 + xd k L 1 + kx sx cercano a 0; k cualquier númerod
k = 1>2
k = -1; reemplazar x por -x.
k = 1>3; reemplazar x por 5x 4 .
reemplazar x por -x 2 k = -1>2;
.
Algunas veces utilizamos la notación de Leibniz, dy>dx,
para representar la derivada de y
con respecto a x. A pesar de su apariencia, ésta no es una razón. A continuación introduciremos
dos variables nuevas, dx y dy, con la propiedad de que, si su razón existe, ésta será
igual a la derivada.
DEFINICIÓN Diferencial
Sea y = f(x) una función diferenciable. La diferencial dx es una variable independiente.
La diferencial dy es
dy = ƒ¿sxd dx.
A diferencia de la variable independiente dx, la variable dy siempre es una variable
dependiente. Depende de x y de dx. Si se da un valor específico a dx y x es un número particular
en el dominio de la función f, entonces el valor numérico de dy está determinado.
EJEMPLO 4 Determinación de la diferencial dy
(a) Encontrar dy si y = x
(b) Encontrar el valor de dy cuando x = 1 y dx = 0.2.
5 + 37x.
Solución
(a) dy = s5x
(b) Sustituyendo x = 1 y dx = 0.2 en la expresión para dy, tenemos
4 + 37d dx
dy = s5 # 1 4 + 37d0.2 = 8.4.
En la figura 3.51 se muestra el significado geométrico de las diferenciales. Sea x = a,
y fijamos dx =¢x. El cambio correspondiente en y = f(x) es
¢y = ƒsa + dxd - ƒsad.