Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Los ejercicios adicionales, al final de este capítulo, muestran cómo la integración tabular
puede utilizarse cuando ninguna de las dos funciones, f y g, puede diferenciarse de
manera repetida hasta hacerse cero.
Resumen
Cuando no funciona la sustitución, intente integración por partes. Inicie con una integral
en la que el integrando sea el producto de dos funciones,
(Recuerde que g puede ser la función constante 1, como en el ejemplo 3). Haga coincidir
la integral con la forma
eligiendo dv como la parte del integrando que incluye a dx y a f (x) o g(x). Recuerde que
debe ser capaz de integrar con facilidad dv para obtener v, y así obtener el lado derecho de
la fórmula
Si la nueva integral, en el lado derecho, es más complicada que la original, intente una
elección diferente para u y dy.
EJEMPLO 9 Una fórmula de reducción
Obtenga una fórmula de “reducción” que exprese la integral
en términos de una integral de una potencia menor de cos x.
n
Solución Podemos considerar a cos x como Entonces hacemos
de modo que
De aquí que
L cosn x dx = cos n - 1 x sen x + sn - 1d L sen 2 x cos n - 2 x dx
Si sumamos
ƒsxdgsxd dx.
L
u dy
L
L u dy = uy - y du.
L
L cosn x dx
u = cos n - 1 x y dy = cos x dx,
du = sn - 1d cos n - 2 x s -sen x dxd y y = sen x.
= cos n - 1 x sen x + sn - 1d L s1 - cos 2 xd cos n - 2 x dx,
= cos n - 1 x sen x + sn - 1d L cos n - 2 x dx - sn - 1d L cos n x dx.
sn - 1d L cos n x dx
8.2 Integración por partes 567
cos n - 1 x # cos x.