Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

k
k
k
y
0 x0 x0 x0
y k
FIGURA 2.17 Para la función f(x) = k
encontramos que ƒ ƒsxd - k ƒ 6Ppara
cualquier positiva d (ejemplo 3b).
x
equivalente a la mitad de la longitud de ese intervalo. Cuando no existe tal simetría —lo
cual es bastante común—, podemos tomar d como la distancia entre x 0 y el extremo más
cercano al intervalo.
EJEMPLO 4 Determinación algebraica de delta
Para el límite límx:52x - 1 = 2, encontrar una d > 0 que funcione para P = 1. Esto es,
encontrar una d > 0 tal que para toda x
0 6 ƒ x - 5 ƒ 6 d Q ƒ 2x - 1 - 2 ƒ 6 1.
Solución Organizaremos la búsqueda en dos pasos, como se explica a continuación.
1. Resolver la desigualdad ƒ 2x - 1 - 2 ƒ 6 1 para encontrar un intervalo que contenga
a x0 = 5, en donde la desigualdad se satisfaga para toda x Z x0. ƒ 2x - 1 - 2 ƒ 6 1
-1 6 2x - 1 - 2 6 1
1 6 2x - 1 6 3
1 6 x - 1 6 9
2 6 x 6 10
2.3 La definición formal de límite 95
La desigualdad se satisface para toda x en el intervalo abierto (2, 10), de manera que
también se satisface para toda x Z 5 en este intervalo (vea la figura 2.19).
2. Encontrar un valor de d > 0 para colocar el intervalo centrado 5 – d < x < 5 + d (con
centro en x0 = 5) dentro del intervalo (2, 10). La distancia entre 5 y el extremo más
cercano de (2, 10) es 3 (figura 2.18). Si tomamos d = 3 o a cualquier número positivo
menor, la desigualdad 0 < |x – 5| < d colocará automáticamente a x entre 2 y 10 para
hacer que ƒ 2x - 1 - 2 ƒ 6 1 (figura 2.19)
3
2 5 8
0 6 ƒ x - 5 ƒ 6 3 Q ƒ 2x - 1 - 2 ƒ 6 1.
10
FIGURA 2.18 Un intervalo abierto de
radio 3 alrededor de x 0 = 5 estará en el
intervalo abierto (2, 10).
3
x
3
2
1
y
3 3
0 1 2 5 8 10
NO ESTÁ A ESCALA
y x 1
FIGURA 2.19 La función y los intervalos
del ejemplo 4.
x