Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

216 Capítulo 3: Derivadas
dy
dt
y
60
0
y
dx
dt
ds
dt
?
Situación cuando
x 0.8, y 0.6
20
FIGURA 3.44 La rapidez del automóvil
se relaciona con la rapidez de la patrulla y
la razón de cambio de la distancia entre
ambos (ejemplo 3).
x
x
4. Escribimos una ecuación que relaciones las variables y u.
y
500
5. Derivamos con respecto a t. Utilizando la regla de la cadena. El resultado nos dice cómo
se relaciona (la incógnita que queremos determinar) con (el dato que
conocemos).
dy
dt = 500 ssec2 ud du
dy>dt
du>dt
dt
6. Evaluamos con u = p>4 y du>dt = 0.14 para encontrar dy>dt.
En el momento en cuestión, el globo está subiendo a razón de 140 pies> min.
EJEMPLO 3 Persecución en la carretera
Una patrulla se aproxima a una intersección en ángulo recto desde el norte, persiguiendo a
un automóvil que va a exceso de velocidad, y da vuelta en la esquina hacia el este. Cuando
la patrulla se encuentra a 0.6 millas al norte de la intersección y el automóvil está a 0.8 millas
al este, los policías determinan con un radar que la distancia entre ellos y el automóvil
está aumentando a 20 millas> hora. Si la patrulla se mueve a 60 millas> hora en el instante
de la medición, ¿cuál es la velocidad del automóvil?
Solución Dibujamos el automóvil y la patrulla en el plano coordenado, usando el eje x
positivo como el lado este de la carretera y el eje y positivo como el lado norte de la misma
(figura 3.44). Hacemos que t represente el tiempo y fijamos
x = posición del automóvil en el tiempo t
y = posición de la patrulla en el tiempo t
s = distancia entre el automóvil y la patrulla en el tiempo t
Suponemos que x, y y s son funciones diferenciables de t.
Queremos encontrar dx>dt cuando
x = 0.8 millas, y = 0.6 millas, dy
dt
Observe que dy>dt es negativo, porque y está decreciendo.
Derivamos la ecuación de la distancia
(también podríamos usar s = 2x ), y obtenemos
2 + y 2
2s ds
dt
dy
dt = 500A 22B2 s0.14d = 140
= 2x dx
dt
ds
dt = 1 s
=
= tan u o y = 500 tan u
s 2 = x 2 + y 2
ax dx
dt
= -60 millas>hora, ds
dt
+ 2y dy
dt
+ y dy
dt b
1
2x2 dx
ax
2 + y dt
+ y dy
dt b.
sec p
4
= 22
= 20 millas>hora.