Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Precaución
Para aplicar la regla de L’Hôpital a ƒ>g,
divida la derivada de f entre la derivada
de g. No caiga en la trampa de derivar
ƒ>g.
El cociente a usar esƒ¿>g¿ , no (f >gd¿ .
EJEMPLO 1 Uso de la regla de L’Hôpital
(a)
(b)
3x - sen x
lím
x:0 x
= 3 - cos x
21 + x - 1
lím
x:0 x
= lím
x:a
4.6 Formas indeterminadas y la regla de L’Hôpital 293
Demostración
límites, tenemos
Trabajando hacia atrás a partir de ) y que son ellas mismas
ƒ¿sad
g¿sad =
ƒ¿sad g¿sad,
ƒsxd - ƒsad
lím
x:a x - a
gsxd - gsad
lím
x:a x - a
ƒsxd - ƒsad
x - a
= lím
x:a gsxd - gsad
x - a
ƒsxd - ƒsad
gsxd - gsad
` = 2
1 x=0
1
221 + x 3
=
1
x = 0
= lím
x:a
= 1
2
ƒsxd - 0
gsxd - 0
= lím
x:a ƒsxd
gsxd .
Algunas veces, después de derivar los nuevos numerador y denominador, ambos son
iguales a cero en x = a, como vemos en el ejemplo 2. En esos casos, aplicamos una forma
más “fuerte” de la regla de L’Hôpital.
TEOREMA 7 Regla de L’Hôpital (forma más fuerte)
Supongamos que ƒsad = gsad = 0, que f y g son diferenciables en un intervalo
abierto I que contiene a a, y que g¿sxd Z 0 en I si x Z a. Entonces
lím
x:a
suponiendo que el límite del lado derecho existe.
ƒsxd
= lím
gsxd x:a ƒ¿sxd
g¿sxd ,
Antes de dar la demostración del teorema 7, consideremos un ejemplo.
EJEMPLO 2 Aplicación de la forma fuerte de la regla de L’Hôpital
(a)
(b)
lím
x:0 21 + x - 1 - x>2
x 2
x - sen x
lím
x:0 x3 = lím
x:0 s1>2ds1 + xd-1>2 - 1>2
2x
-s1>4ds1 + xd-3>2
= lím
x:0 2
1 - cos x
= lím
x:0 3x2 sen x
= lím
x:0 6x
cos x
= lím
x:0 6
= 1
6
=- 1
8
0
0
0
Todavía diferenciar
0
nuevamente
;
0
No es límite encontrado.
0 ;
0
0
Todavía 0
0
Todavía 0
0
No es límite encontrado
0
0 ;