Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

210 Capítulo 3: Derivadas
EJEMPLO 6 Uso de la regla de potencias racionales
(a)
(b)
(c)
d
dx Ax1>2 B = 1
2 x -1>2 =
d
dx Ax2>3B = 2 -1>3
x
3
d
dx Ax-4>3B =- 4 -7>3
x
3
Demostración del teorema 4 Sean p y q enteros con q 7 0 y supongamos que
y = 2 q x p =
x Entonces
p>q .
Como p y q son enteros (para los que ya tenemos la regla de potencias), y suponiendo que
y es una función diferenciable de x, podemos derivar ambos lados de la ecuación con respecto
a x y obtener
Si y Z 0, podemos dividir ambos lados de la ecuación entre qy q–1 para resolver para dy>dx,
obteniendo
lo cual prueba la regla.
1
21x
para x 7 0
para x Z 0
para x Z 0
y q = x p .
dy q - 1 qy
dx = pxp - 1 .
dy
dx
- 1 pxp
= q - 1 qy
= p
q # s p - 1d - s p - p>qd
x
= p
q # x s p>qd - 1 ,
Una ley de exponentes
En el capítulo 7, dejaremos el supuesto de diferenciabilidad usado en la prueba del
teorema 4; ahí demostraremos la regla de potencias para cualquier exponente real distinto
de cero. (Vea la sección 7.3).
Combinando el resultado del teorema 4 con la regla de la cadena, obtenemos una
extensión de la regla de la cadena de potencias a potencias racionales de u: Si pNq es un
número racional y u es una función diferenciable de x, entonces u pNq es una función diferenciable
de x y
d
dx up>q = p p>qd - 1 du
q us
dx ,
p
p
q sq - 1d = p - q
siempre y cuando u Z 0 si (pNq) 6 1. La restricción es necesaria, ya que 0 podría estar en el
dominio de u pNq pero no en el dominio de u (pNq)–1 , como veremos en el ejemplo siguiente.
= p
q # p - 1 x
q - 1
= p
q
sx p>q d
- 1
# xp
p - p>q x
y = x p>q