Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

492 Capítulo 7: Funciones trascendentes
Ya que ƒ¿s1d = 1, tenemos
Por lo tanto,
lím
ln e = 1 y ln es inyectiva
x:0
Sustituyendo y = 1>x, también podemos expresar el límite del teorema 4 como
s1 + xd1>x = e
Al inicio de la sección observamos que e = 2.718281828459045 con 15 decimales de precisión.
La regla de la potencia (forma general)
Ahora podemos definir x n para cualquier x 7 0 y cualquier número real n como
Por consiguiente, la n en la ecuación ln x ya no tiene que ser racional: puede ser
cualquier número, siempre y cuando x 7 0:
n x
= n ln x
n = e n ln x .
ln x n = ln se n ln x d = n ln x
Juntas, la ley a x /a y = a x–y y la definición x n = e n ln x nos permiten establecer la regla de
la potencia para diferenciación en su forma general. Al diferenciar x respecto de x se obtiene
n
d
dx xn = d ln x
en
dx
= en ln x # d
sn ln xd
dx
= x n # n x
= nx n - 1 .
En resumen, siempre y cuando x 7 0,
ln c lím
x:0 s1 + xd 1>x d = 1
e = lím
y: q a1 + 1 y b
y
.
d
dx xn = nx n - 1 .
ln e u = u, para cualquier u
Definición de xn , x 7 0
Regla de la cadena para
Nuevamente la definición
La regla de la cadena amplía esta ecuación a la forma general de la regla de la potencia.
Regla de la potencia (forma general)
Si u es una función diferenciable positiva de x, y n es cualquier número real, entonces
u n es una función diferenciable de x y
d
dx un = nu n - 1 du
dx .
e u
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