Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

544 Capítulo 7: Funciones trascendentes
Utilice las fórmulas del cuadro anterior para expresar los números en
los ejercicios 61 a 66 en términos de logaritmos naturales.
61. 62. cosh -1 senh s5>3d
-1 s -5>12d
63. 64. coth -1 tanh s5>4d
-1 s -1>2d
65. 66. csch -1 sech s -1> 13d
-1 s3>5d
Evalúe las integrales de los ejercicios 67 a 74 en términos de
a. funciones hiperbólicas inversas.
b. logaritmos naturales.
223
67. 68.
69. 70.
71. 72.
73. 74.
e
dx
L1
x21 + sln xd 2
p
cos x dx
L0
21 + sen 2 2
dx
L1
x24 + x
x
2
3>13
dx
L1>5
x21 - 16x 2
1>2
dx
L0
1 - x 2
2
dx
L5>4
1 - x 2
L0
6 dx
21 + 9x 2
L0
dx
24 + x 2
Aplicaciones y teoría
75. a. Demuestre que si una función f está definida en un intervalo
simétrico con respecto del origen (de manera que f está definida
en –x siempre que esté definida en x), entonces
ƒsxd =
ƒsxd + ƒs -xd
2
Luego compruebe que es par y que
es impar.
b. La ecuación (1) se simplifica mucho si la propia f es (i) par o
(ii) impar. ¿Cuáles son las nuevas ecuaciones? Justifique sus
respuestas.
76. Deduzca la fórmula senh - q 6 x
6 q . Explique por qué al deducirla se usa el signo más con la
raíz cuadrada, en lugar del signo menos.
77. Caída libre Si un cuerpo de masa m que cae libremente desde
el reposo encuentra una resistencia del aire proporcional al cuadrado
de su velocidad, su velocidad a t segundos de iniciarse la
caída satisface la ecuación diferencial
-1 x = ln Ax + 2x2 sƒsxd + ƒs -xdd>2
sƒsxd - ƒs -xdd>2
+ 1B ,
m dy
dt = mg - ky2 ,
donde k es una constante que depende de las propiedades aerodinámicas
del cuerpo y de la densidad del aire. (Suponemos que la
caída es lo suficientemente corta para que la variación de la densidad
del aire no afecte el resultado de manera significativa).
a. Demuestre que
+ ƒsxd - ƒs -xd
1>3
mg
y =
A k tanh a gk
A m tb
.
2
(1)
satisface la ecuación diferencial y la condición inicial de que
y = 0
cuando t = 0.
b. Calcule la velocidad límite del cuerpo,
c. Para un paracaidista que pesa 160 lb (mg = 160), el tiempo en
segundos y la distancia en pies, un valor común para k es
0.005. ¿Cuál es la velocidad límite del paracaidista?
78. Aceleraciones con magnitudes proporcionales al desplazamiento
Supongamos que, en el instante t, la posición de un móvil
que se desplaza sobre una recta coordenada es
a.
b.
s = a cos kt + b sen kt
s = a cosh kt + b senh kt.
Demuestre que en ambos casos la aceleración d es proporcional
a s, pero en el primero el móvil se dirige hacia el origen,
mientras que en el segundo se aleja de él.
2 s>dt 2
79. Camión con remolque y la tractriz Cuando un camión con
remolque vira en una esquina o en un cruce de caminos, sus ruedas
posteriores describen una curva como la que se ilustra a continuación.
(Ésta es la razón por la que a veces las ruedas traseras suelen
subirse a las aceras al dar la vuelta). Podemos hallar la ecuación
de esa curva si imaginamos las ruedas traseras como una masa M
en el punto (1,0) sobre el eje x, unida por una varilla de longitud
unitaria a un punto P, que representa la cabina del conductor, en
el origen. Cuando el punto P sube por el eje y, arrastra a M. La
curva descrita por M se llama tractriz (del latín tractum, arrastrar)
y se puede probar que es la gráfica de la función y = f (x) que resuelve
el problema con valor inicial
Ecuación diferencial:
dy
dx =-
1
+
2
x21 - x
x
21 - x 2
Condición inicial: y = 0 cuando x = 1.
Resuelva el problema con valor inicial para hallar la ecuación de
la curva. (Necesitará una función hiperbólica inversa).
P
y
y f(x)
M(x, y)
0 (1, 0)
límt:q y.
80. Área Demuestre que el área de la región del primer cuadrante,
acotada por la curva y = s1>ad cosh ax, los ejes coordenados y la
recta x = b, es igual al área de un rectángulo de altura 1> a y longitud
s, donde s es la longitud de la curva de x = 0 a x = b. (Vea la
figura siguiente).
x