Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Demostración Sea F cualquier antiderivada de f. Entonces
Para usar la fórmula, hacemos la misma sustitución de u = gsxd y du = g¿sxd dx que
usaríamos para evaluar la integral indefinida correspondiente. Después se integra la integral
transformada respecto de u, del valor g(a) (el valor de u en x = a)
al valor g(b) (el valor
de u en x = b).
EJEMPLO 1 Sustitución por dos métodos
Evaluar
L
1
-1
Solución Tenemos dos posibilidades.
Método 1: Transformar la integral y evaluar la integral transformada con los límites transformados
dados en el teorema 6.
Evaluar la integral definida nueva.
Método 2: Transformar la integral como una integral indefinida, cambiar nuevamente a x y
usar los límites originales de x.
L 3x2 2x 3 + 1 dx = L 1u du
L
1
-1
L
1
-1
b
3x 2 2x 3 + 1 dx.
3x 2 2x 3 + 1 dx
2
= 1u du
L0
= 2
3 u3>2 d 0
= 2
3 c23>2 - 03>2 d = 2
3
= 2
3 u3>2 + C
= 2
3 sx3 + 1d 3>2 + C
3x 2 2x 3 + 1 dx = 2
3 sx3 + 1d 3>2 d -1
2
5.6 Sustitución y área entre curvas 377
ƒsgsxdd # g¿sxd dx = Fsgsxdddx=a
La
= Fsgsbdd - Fsgsadd
= Fsud d u = gsad
= L
gsbd
gsad
= 2
3 css1d3 + 1d 3>2 - ss-1d 3 + 1d 3>2 d
= 2
3 c23>2 - 03>2 d = 2
3
c222 d = 422
3
1
x = b
u = gsbd
ƒsud du.
Sea
Cuando
Cuando x = 1, u = s1d3 x = -1, u = s -1d
+ 1 = 2.
3 u = x
+ 1 = 0.
3 + 1, du = 3x 2 dx.
c222 d = 422
3
d
dx
= F¿sgsxddg¿sxd
= ƒsgsxddg¿sxd
Fsgsxdd
Teorema fundamental
parte 2
Sea u = x 3 + 1, du = 3x 2 dx.
Integrar respecto de u.
Reemplazar u por x 3 + 1.
Usar la integral recién encontrada
con los límites de integración para x.