Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

254 Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
b. Se espera que el costo de la construcción subacuática aumente,
mientras que el costo de la construcción en tierra permanezca
constante. ¿A qué costo sería mejor construir la tubería
directamente hacia el punto A?
56. Ampliación de una carretera Se debe construir una carretera
para comunicar el pueblo A con el pueblo B. Hay un camino rural
que se puede ampliar 50 millas al sur de la línea que conecta los
dos pueblos. El costo de ampliar el camino existente es de
$300,000 por milla, mientras que el costo de construir una carretera
nueva es de $500,000 por milla. Encuentre la combinación,
entre ampliar y hacer una nueva carretera, que minimice el
costo de conexión de los dos pueblos. Defina claramente la localización
de la carretera propuesta.
A
57. Localización de una estación de bombeo Dos pueblos están
en el lado sur de un río. Se debe ubicar una estación de bombeo
para abastecer de agua los dos pueblos. Una tubería será conectada
desde la estación de bombeo a cada pueblo a lo largo de una línea
que conecte el pueblo con la estación de bombeo. Ubique la
estación de bombeo de manera que se minimice la cantidad de tubería
que debe construirse.
2 millas
58. Longitud de un cable Hay dos torres, una de 50 pies de altura
y la otra de 30 pies de altura. Entre ambas torres hay una separación
de 150 pies. Se debe tender un cable desde el punto A a la
parte superior de cada torre:
50'
A
150 millas
50 millas 50 millas
Carretera
10 millas
150'
a. Ubique el punto A de manera que la longitud total del cable
sea mínima.
b. Pruebe en general que, sin importar la altura de las torres, la
longitud del cable es mínima si los ángulos en A son iguales.
59. La función
Vsxd = xs10 - 2xds16 - 2xd, 0 6 x 6 5,
modela el volumen de una caja.
a. Encuentre los valores extremos de V.
P
A
B
B
5 millas
30'
b. Interprete cualesquiera valores encontrados en el inciso (a) en
términos del volumen de la caja.
60. La función
Psxd = 2x + 200
x , 0 6 x 6 q,
modela el perímetro de un rectángulo de dimensiones x por 100>x.
a. Encuentre todos valores extremos de P.
b. Dé una interpretación, en términos del perímetro del rectángulo
para cualesquiera valores encontrados en el inciso (a).
61. Área de un triángulo rectángulo ¿Cuál es la mayor área posible
de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 5 cm de
largo?
62. Área de un campo de atletismo Se va a construir un campo de
atletismo con forma rectangular de x unidades de largo, rematado
en ambos extremos por regiones semicirculares de radio r. El
campo debe estar acotado por una pista de carreras de 400 m.
a. Exprese el área de la parte rectangular del campo como una
función sólo de x o sólo de r (queda a su elección).
b. ¿Qué valores de x y r dan a la parte rectangular el área máxima
posible?
63. Altura máxima de un cuerpo que se mueve verticalmente La
altura de un cuerpo que se mueve verticalmente está dada por
s =- 1
con s en metros y t en segundos. Encuentre la altura máxima del
cuerpo.
64. Pico de la corriente alterna Suponga que en cualquier tiempo t
(en segundos) la corriente i (en amperes) en un circuito de corriente
alterna es i = 2 cos t + 2 sen t. ¿Cuál es la corriente pico
(mayor magnitud) para este circuito?
Teoría y ejemplos
2 gt 2 + y0 t + s0, g 7 0,
65. Un mínimo sin derivada La función tiene un valor
mínimo absoluto en a pesar de que la función f no es diferenciable
en . ¿Es esto consistente con el teorema 2? Justifique
su respuesta.
66. Funciones pares Si una función par f (x) tiene un valor máximo
local en ¿se puede decir algo acerca del valor de f en
Justifique su respuesta.
67. Funciones impares Si una función impar g(x) tiene un valor
mínimo local en ¿se puede decir algo acerca del valor de g
en Justifique su respuesta.
68. Sabemos cómo encontrar los valores extremos de una función
continua f (x) investigando sus valores en los puntos críticos y en
los extremos del intervalo. Pero, ¿qué ocurre si no hay puntos críticos
o extremos? ¿Existen realmente tales funciones? Justifique
sus respuestas.
69. Funciones cúbicas Considere la función cúbica
ƒsxd = ax
a. Demuestre que f puede tener 0, 1 o 2 puntos críticos. Dé los
ejemplos y haga las gráficas necesarias para apoyar su argumento.
b. ¿Cuántos extremos locales puede tener f ?
3 + bx2 ƒsxd = ƒ x ƒ
x = 0,
x = 0
x = c,
x = -c?
x = c,
x = -c?
+ cx + d.