Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

7.8 Funciones hiperbólicas 537
Las otras identidades se obtienen de manera similar, sustituyendo las definiciones de
las funciones hiperbólicas y por medio de álgebra. Al igual que muchas funciones estándar,
las funciones hiperbólicas y sus inversas se evalúan con facilidad con la ayuda de
calculadoras que tienen teclas especiales o secuencias de teclas para ese propósito.
Derivadas e integrales
Toda vez que son combinaciones racionales de las funciones diferenciables e x y e –x , las
seis funciones hiperbólicas tienen derivadas en todos los puntos en donde estén definidas
(tablas 7.7). Ésta es una semejanza más con las funciones trigonométricas. Las fórmulas
de las derivadas listadas en la tabla 7.7 conducen a las fórmulas de las integrales de la
tabla 7.8.
TABLA 7.7 Derivadas de funciones
hiperbólicas
d
dx
d
du
ssech ud = -sech u tanh u
dx dx
d
du
scsch ud = -csch u coth u
dx dx
scoth ud = -csch2 u du
d
dx
dx
stanh ud = sech2 u du
d
du
ssenh ud = cosh u
dx dx
d
du
scosh ud = senh u
dx dx
dx
TABLA 7.8 Fórmulas de integrales
para funciones hiperbólicas
senh u du = cosh u + C
L
cosh u du = senh u + C
L
L sech2 u du = tanh u + C
L csch2 u du = -coth u + C
sech u tanh u du = -sech u + C
L
csch u coth u du = -csch u + C
L
Las fórmulas de derivadas se deducen a partir de la derivada de eu :
d
d
ssenh ud =
dx dx aeu - e-u b
2
Con esto se obtiene la primera fórmula de derivada. El cálculo
d
d
scsch ud =
dx dx a
1
senh u b
=-
=-
= eu du>dx + e -u du>dx
2
= cosh u du
dx
cosh u
senh2 u du
dx
1 cosh u
senh u senh u du
dx
= -csch u coth u du
dx
Definición de senh u
Derivada de
Definición de csch u
Regla del cociente
Definición de cosh u
Reacomodando términos
Definición de csch u y coth u
produce la última fórmula. Las otras se obtienen de manera similar.
e u