Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

220 Capítulo 3: Derivadas
24. Preparación de café El café está pasando a través de un filtro
cónico hasta una cafetera cilíndrica, a una razón de 10 pulg 3 Nmin.
a. ¿Qué tan rápido sube el nivel de líquido en la cafetera cuando
el café del cono tiene 5 pulgadas de profundidad?
b. ¿Qué tan rápido disminuye el nivel del cono en ese momento?
6"
6"
6"
25. Gasto cardiaco A finales de la década de 1860, Adolf Fick,
profesor de fisiología de la Facultad de Medicina de Würzberg,
Alemania, desarrolló uno de los métodos que usamos hoy en día
para medir cuánta sangre bombea el corazón por minuto. El gasto
cardiaco que realiza su organismo al momento de leer esta frase
es probablemente de más o menos 7 L> min. En reposo, el gasto
puede ser un poco menor, aproximadamente de 6 L> min. Si usted
fuera un corredor de maratón, su gasto cardiaco durante la competencia
podría llegar a 30 L> min.
El gasto cardiaco puede calcularse con la fórmula
y = Q
D ,
¿Qué tan rápido
disminuye este
nivel?
¿Qué tan rápido
se eleva este
nivel?
donde Q es la cantidad de mililitros de CO2 que se exhala en un
minuto y D es la diferencia entre la concentración de CO2 (mLNL)
en la sangre bombeada a los pulmones y la concentración de CO2 en la sangre que regresa de los pulmones. Con Q = 233 mL>min
y D = 97 - 56 = 41 mL>L,
233 mL>min
y = L 5.68 L>min,
41 mL>L
bastante cercano a los 6 L> min que casi todas las personas tienen
en condición basal (es decir, en reposo). (Datos cortesía del Dr. J.
Kenneth Herd, del Quillan College of Medicine, East Tennessee
State University.)
Suponga que cuando Q = 233 y D = 41, también sabemos
que D está decreciendo a una razón de 2 unidades por minuto,
pero Q permanece sin cambios. ¿Qué está pasando con el gasto
cardiaco?
26. Costo, ingresos y utilidades Una compañía puede fabricar x artículos
a un costo de c(x) miles de dólares, un ingreso por ventas
de r(x) miles de dólares y utilidades de psxd = rsxd - csxd miles
de dólares. Encuentre dc>dt,
dr>dt y dp>dt para los siguientes
valores de x y de dx>dt.
a.
b.
rsxd = 9x, csxd = x
cuando x = 2
3 - 6x 2 + 15x y dx>dt = 0.1
rsxd = 70x, csxd = x
cuando x = 1.5
3 - 6x 2 + 45>x y dx>dt = 0.05
27. Movimiento a lo largo de una parábola Una partícula se mueve
a lo largo de la parábola y = x 2 en el primer cuadrante, de manera
que sus coordenadas x (medidas en metros) crecen a una razón estable
de 10 m> seg. ¿Qué tan rápido cambia el ángulo de inclinación
u de la recta que une la partícula con el origen cuando x = 3 m?
28. Movimiento a lo largo de otra parábola Una partícula se mueve
de derecha a izquierda a lo largo de la parábola y = 1-x,
de
manera que sus coordenadas x (medidas en metros) decrecen a razón
de 8 m> seg. ¿Qué tan rápido cambia el ángulo de inclinación
u de la recta que une la partícula con el origen cuando x = –4?
29. Movimiento en el plano Las coordenadas de una partícula en
el plano métrico xy son funciones diferenciables del tiempo t con
dx>dt = -1 m>seg y dy>dt = -5 m>seg. ¿Qué tan rápido cambia
la distancia entre la partícula y el origen cuando pasa por el punto
(5, 12)?
30. Movimiento de una sombra Un hombre de 6 pies de alto camina
a una razón de 5 pies seg hacia un farol cuya luz está a 16
pies del piso. ¿A qué razón se mueve la punta de su sombra? ¿A
qué razón cambia la longitud de su sombra cuando está a 10 pies
de la base del farol?
31. Otro movimiento de una sombra Una luz brilla desde el extremo
de un poste de 50 pies de altura. Se lanza una pelota a la misma
altura desde un punto ubicado a 30 pies de distancia de la luz.
(Vea la figura). ¿Qué tan rápido se mueve la sombra de la pelota a
lo largo del suelo segundo después? (Suponga que la pelota
cae una distancia s = 16t2 >
1>2
pies en t segundos).
Luz
Poste
de 50
pies
0
30
Pelota en el tiempo t 0
1/2 segundo después
NO ESTÁ A ESCALA
sombra
x(t)
32. Filmación del movimiento de un automóvil Imagine que está
filmando una carrera de automóviles desde una tribuna ubicada a
132 pies de la pista; su lente está siguiendo un automóvil que se
mueve a 180 millas> h (264 pies> seg). ¿Qué tan rápido cambiará
el ángulo u de su cámara cuando el automóvil esté justo enfrente
de usted? ¿Qué tan rápido cambiará medio segundo después?
x