Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

360 Capítulo 5: Integración
EJEMPLO 4 Construcción de una función con una derivada y valor dados
Encontrar una función y = ƒsxd en el dominio s -p>2, p>2d con derivada
que satisfaga la condición ƒs3d = 5.
Solución El teorema fundamental facilita la construcción de una función con derivada
tan x que sea igual a 0 en x = 3:
3
dy
dx
Como ys3d = tan t dt = 0, sólo tenemos que sumar 5 a esta función para construir
L3
una con derivada tan x cuyo valor en x = 3 es 5:
ƒsxd = tan t dt + 5.
L3
A pesar de que la solución del problema del ejemplo 4 satisface las dos condiciones
requeridas, podríamos cuestionarnos si está en una forma útil. La respuesta es sí, ya que
hoy en día tenemos computadoras y calculadoras capaces de aproximar integrales. En el
capítulo 7 aprenderemos a escribir la solución del ejemplo 4 como
A continuación se da una demostración del teorema fundamental para una función
continua arbitraria.
Demostración del teorema 4 Probamos el teorema fundamental aplicando directamente
la definición de la derivada a la función F(x), cuando x y x + h están en (a, b). Esto significa
escribir el cociente de diferencias
Fsx + hd - Fsxd
(3)
h
y probar que su límite cuando h : 0 es el número f (x) para cada x en (a, b) .
Cuando reemplazamos Fsx + hd y F(x) por sus integrales definidas, el numerador de
la ecuación (3) se convierte en
Fsx + hd - Fsxd =
La
La regla de aditividad para integrales (regla 5, tabla 5.3) simplifica el lado derecho a
Lx
de manera que la ecuación (3) se transforma en
Fsx + hd - Fsxd
h
x
cos 3
y = ln ` cos x ` + 5.
x + h
= tan x
x
y = tan t dt.
L3
x + h
ƒstd dt,
= 1
[Fsx + hd - Fsxd]
h
= 1
hLx ƒstd dt - ƒstd dt.
La
x + h
ƒstd dt.
x
(4)