Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Biomasa
250
200
150
100
50
y
0 1 2 3 4 5 6 7
Tiempo
FIGURA 1.86 Ajuste de una función
cuadrática a los datos dados en la
ecuación y = 6.10x
y la predicción ys17d = 1622.65
(ejemplo 8).
2 - 9.28x + 16.43
x
1.7 Graficación con calculadoras y computadoras 65
El modelo cuadrático y = 6.10x parece ajustarse razonablemente
bien los datos recopilados (figura 1.86). Usando este modelo, podemos predecir que, después
de 17 horas, la población será ys17d = 1622.65. Examinemos más a fondo los datos
obtenidos para ver si nuestro modelo cuadrático sigue siendo válido.
En la figura 1.87 se ilustra una gráfica que incluye todos los datos. Vemos ahora que
la predicción de ys17d = 1622.65 sobreestimó en gran medida el crecimiento de la población
observada, que es de 659.6. ¿A qué se debe que el modelo cuadrático no pudiera predecir
un valor más exacto?
2 - 9.28x + 16.43
Población de levadura
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
y
Observación
Predicción
x
0 4.5 9
Tiempo (horas)
13.5 18
FIGURA 1.87 El resto de los datos de Pearl (ejemplo 8).
El problema radica en el riesgo de predecir más allá del rango de los datos usados para
construir el modelo empírico. (El rango de datos utilizado para crear nuestro modelo
fue 0 … x … 7. ) Tal extrapolación es especialmente peligrosa cuando el modelo elegido
no está sustentado por alguna razón fundamental que sugiera cuáles serían sus características
más apropiadas. ¿Qué nos llevó a decidir, en nuestro ejemplo de la levadura, que una
función cuadrática nos ayudaría a predecir el crecimiento poblacional? ¿Por qué no elegimos
una función exponencial? ¿Cómo predecir valores futuros cuando nos enfrentamos a
este tipo de disyuntiva? Como veremos al modelar el crecimiento poblacional en el capítulo
9, muchas veces el cálculo puede ayudarnos.
Análisis de regresión
El análisis de regresión consta de cuatro pasos:
1. Trazar los datos (en un diagrama de dispersión).
2. Encontrar una función de regresión. Por ejemplo: para una recta, dicha función
tiene la forma y, en el caso de una función cuadrática, la
forma y = ax
3. Superponer la gráfica de la función de regresión al diagrama de dispersión para
ver que tan bien se ajustan.
4. Si el ajuste es satisfactorio, usar la función de regresión para predecir el valor
de y dando valores de x que no estén en la tabla.
2 y = mx + b,
+ bx + c.