Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

7.8 Funciones hiperbólicas 541
Solución Primero determinamos la derivada de y = cosh –1 x para x 7 1 aplicando el teorema
1 con f (x) = cosh x y f –1 (x) = cosh –1 x. El teorema 1 se puede aplicar porque la derivada
de cosh x es positiva para x 7 0.
En resumen,
Por último, la regla de la cadena produce:
Teorema 1
En lugar de aplicar directamente el teorema 1, como se hizo en el ejemplo 2, podríamos
determinar la derivada de y = cosh –1 x, x 7 1, por medio de diferenciación implícita y la regla
de la cadena:
Ecuación equivalente
Con sustituciones adecuadas, las fórmulas de las derivadas de la tabla 7.10 conducen
a las fórmulas de integración de la tabla 7.11. Cada una de las fórmulas de la tabla 7.11
puede verificarse derivando la expresión del lado derecho.
EJEMPLO 3 Uso de la tabla 7.11
Evaluar
y = cosh -1 x
x = cosh y
1 = senh y dy
dx
dy
dx =
=
1
senh y =
sƒ -1 d¿sxd =
1
2x 2 - 1 .
L0
=
=
=
d
dx scosh-1 xd =
d
dx scosh-1 ud =
1
1
ƒ¿sƒ -1 sxdd
1
senh scosh -1 xd
1
1
2x 2 - 1
2cosh 2 y - 1
1
2x 2 - 1 .
1
2u2 - 1 du
dx .
2 dx
.
2 23 + 4x
1
2cosh 2 scosh -1 xd - 1
Diferenciación implícita
respecto de x, y la regla
de la cadena
Ya que x 7 1, y 7 0
y senh y 7 0
cosh y = x
ƒ¿sud = senh u
cosh 2 u - senh 2 u = 1,
2cosh 2 senh u = u - 1
cosh scosh -1 xd = x