Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

206 Capítulo 3: Derivadas
0
y
y2 x
1
Pendiente
2y1 1
2x
P(x, x )
Q(x, x )
1 1
Pendiente
2y2 2x
y 1 x
y 2 x
FIGURA 3.37 La ecuación y 2 – x = 0 o
y 2 = x como se suele escribir, define dos
funciones diferenciables de x en el
intervalo El ejemplo 1 muestra
cómo encontrar las derivadas de estas
funciones sin resolver la ecuación y
para x.
2 x Ú 0.
= x
5
x 3 y 3 9xy 0
y
(x 0 , y 1 )
(x 0 , y 2 )
0 x0 5
(x 0 , y 3 )
y f 1 (x)
A
y f 2 (x)
y f 3 (x)
FIGURA 3.38 La curva x 2 + y 2 – 9xy = 0
no es la gráfica de ninguna función de x.
Sin embargo, la curva se puede dividir en
arcos separados que son las gráficas de
funciones de x. Esta curva en particular,
llamada folium, fue descrita por Descartes
en 1638.
x
x
EJEMPLO 1 Diferenciación implícita
Encontrar si y 2 dy>dx = x.
Solución La ecuación y 2 = x define dos funciones diferenciables de x que podemos en-
contrar, a saber, y1 = 1x y y2 = -1x (figura 3.37). Sabemos cómo calcular la derivada
de cada una de ellas para x 7 0:
Pero supongamos que sólo sabemos que la ecuación define y como una o más funciones
diferenciables de x para x > 0, sin saber exactamente cómo son estas funciones. ¿Es
posible encontrar en tales condiciones?
La respuesta es sí. Para encontrar simplemente derivamos ambos lados de la
ecuación y con respecto a x, tratando a y = ƒsxd como una función diferenciable
de x:
2 y
dy>dx
dy>dx
= x
2 = x
Esta fórmula da las derivadas que calculamos para ambas soluciones explícitas, y1 = 1x
y y2 = -1x:
dy1
dx
= 1
2y1
EJEMPLO 2 Pendiente de un círculo en un punto
Encontrar la pendiente del círculo x en el punto (3, –4).
2 + y 2 = 25
Solución El círculo no es la gráfica de una sola función de x. Más bien es la combinación
de dos gráficas de funciones diferenciables y y2 = -225 - x
(figura 3.36). El punto (3, –4) está en la gráfica de y2 de manera que podemos encontrar la
pendiente calculando explícitamente:
2
y1 = 225 - x 2
dy2
dx ` x = 3
=-
Pero también podemos resolver el problema más fácilmente, derivando implícitamente la
ecuación dada del círculo con respecto a x:
La pendiente en (3, –4) es - x y ` s3, -4d
=
dy1
dx =
1
y
21x dy2
dx
1
y
21x dy2
dx
-2x
2y dy
dx
y 2 = x
dy
dx
2225 - x 2 ` x = 3
d
dx Ax2 B + d
dx Ay2 B = d
dx A25B
2x + 2y dy
dx
=- 3
-4
= 1
= 1
2y .
= 1
2y2
-6
=-
2225 - 9
= 0
dy
dx =-x y .
= 3
4 .
=- 1
21x .
=
La regla de la cadena da
d
dx CƒAxBD2 = 2ƒsxdƒ¿sxd = 2y dy
dx .
d
dx Ay2 B =
1
2A - 1xB
=- 1
21x .
= 3
4 .