Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

158 Capítulo 3: Derivadas
Justifique sus respuestas.
39. 40.
y f(x)
y
D: –3 x 2
2
–3 –2 –1 0 1 2
–1
41. 42.
–3
–2
43. 44.
1
y
1
y f(x)
D: –1 x 2
–1 0 1 2
Teoría y ejemplos
En los ejercicios 45 a 48,
y
–1 0
–1
–2
1
–2
y f(x)
D: –3 x 3
1 2 3
x
x
x
–3 –2 –1 0
y f(x)
D: –3 x 3
a. Encuentre la derivada f ¿(x) de la función dada y = f(x).
b. Grafique y = f(x) y y = f ¿(x) una junto a la otra, usando distintos
conjuntos de ejes coordenados, y responda las preguntas siguientes:
c. ¿Para qué valores de x, si los hay, f ¿ es positiva? ¿Para cuáles es
igual a cero? ¿Para cuáles es negativa?
d. ¿En qué intervalos de valores de x, si los hay, la función y = f(x)
crece conforme x aumenta? ¿En qué intervalos decrece conforme
x aumenta? ¿Cómo se relaciona esto con lo que encontró en
el inciso (c)? (Hablaremos más acerca de esta relación en el
capítulo 4).
45. y = -x 46. y = -1>x
2
–2
47. 48.
49. ¿La curva y = x 3 y = x
tiene alguna pendiente negativa? De ser así, ¿en
dónde la tiene? Justifique su respuesta.
50. ¿La curva y = 21x tiene alguna tangente horizontal? De ser así,
¿en dónde la tiene? Justifique su respuesta.
4 y = x >4
3 >3
2
1
3
2
1
y
y
4
2
y
y f(x)
D: –2 x 3
–1 0 1 2 3
–1
–2
y f(x)
D: –2 x 3
–2 –1 0 1 2 3
1 2 3
x
x
x
51. Tangente a la parábola ¿La parábola y = 2x 2 – 13x + 5 tiene
una tangente cuya pendiente sea –1? De ser así, determine la
ecuación para la recta y el punto de tangencia. De lo contrario,
explique por qué no la tiene.
52. Tangente a ¿Alguna tangente a la curva cruza
el eje x en x = –1? De ser así, encuentre la ecuación para la recta
y el punto de tangencia. De lo contrario, explique por qué no lo
cruza.
53. Mayor entero en x ¿Alguna función diferenciable en (–q, q)
tiene y = ent x, el mayor entero en x (vea la figura 2.55), como su
derivada? Justifique su respuesta.
54. Derivada de Grafique la derivada de Después
grafique ¿Qué puede concluir?
55. Derivada de –f ¿Qué implica saber que una función f(x) es diferenciable
en x = x0 respecto a la diferenciabilidad de la función
–f en x = x0? Justifique su respuesta.
56. Derivada de múltiplos ¿Qué nos dice el hecho de que la función
g(t) sea diferenciable en t = 7 respecto a la diferenciabilidad
de la función 3g en t = 7? Justifique su respuesta.
57. Límite de un cociente Suponga que las funciones g(t) y h(t)
están definidas para todos los valores de t, y que g(0) = h(0) = 0.
¿Puede existir De ser así, ¿es igual a cero?
Justifique sus respuestas.
58. a. Sea f(x) una función que satisface ƒ ƒsxd ƒ … x para -1 … x
1. Demuestre que f es diferenciable en x = 0 y determine
ƒ¿s0d.
b. Demuestre que
2
y 1x
y = 1x
y ƒ x ƒ
ƒsxd = ƒ x ƒ.
y = sƒ x ƒ - 0d>sx - 0d = ƒ x ƒ >x.
límt:0 sgstdd>shstdd
x
ƒsxd = L
2 sen 1 x , x Z 0
0, x = 0
es diferenciable en x = 0, y encuentre ƒ¿s0d.
T 59. Utilice su calculadora para graficar y = 1> A21xB en una ventana
que tenga 0 … x … 2. Después emplee la misma ventana para
graficar
y =
1x + h - 1x
h
para h = 1, 0.5, 0.1. Después intente hacerlo para h = -1,
-0.5, -0.1. Explique lo que ocurre.
60. Grafique y = 3x en una ventana que tenga -2 … x … 2,
0 … y … 3. Después emplee la misma pantalla para graficar
2
T
y = sx + hd3 - x 3
h
para h = 2, 1, 0.2. Luego inténtelo para h = -2, -1, -0.2. Explique
lo que ocurre.
61. La función de Weierstrass, continua, pero no diferenciable en
punto alguno La suma de los primeros ocho términos de la
función de Weierstrass, g is
q n = 0 s2>3dn cos s9n T
ƒ(x) =
pxd
+ s2>3d3 cos s93pxd + Á + s2>3d7 cos s97 gsxd = cos spxd + s2>3d
pxd.
1 cos s9pxd + s2>3d2 cos s92pxd Grafique esta suma. Haga varios acercamientos. ¿Qué tanto
“brinca” la gráfica? Especifique una escala para la ventana en
donde se pueda ver una parte suave de la gráfica.