Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

238 Capítulo 3: Derivadas
91. y
92.
A
–1
B
2
1
0 1
–1
–2
93. Use la información siguiente para graficar la función y = ƒsxd
para -1 … x … 6.
i. La gráfica de f está formada por segmentos de recta unidos
extremo con extremo.
ii. La gráfica empieza en el punto (–1, 2).
iii. La derivada de f, donde está definida, coincide con la función
escalonada que aquí se muestra.
94. Repita el ejercicio 93, suponiendo que la gráfica empieza en (–1,
0) en lugar de hacerlo en (–1, 2).
Los ejercicios 95 y 96 se hacen a partir de las gráficas de la figura 3.53
(columna derecha). Las gráficas de la parte (a) muestran los números de
conejos y zorros en una región ártica pequeña. Están trazadas como
funciones del tiempo durante 200 días. Al principio el número de conejos
crece al irse reproduciendo. Pero los zorros se alimentan de conejos,
y conforme el número de zorros crece, el nivel de la población de conejos
se nivela y después baja. La figura 3.53b muestra la gráfica de la
derivada de la población de conejos. La hicimos graficando las pendientes.
95. a. ¿Cuál es el valor de la derivada de la población de conejos en la
figura 3.53 cuando el número de conejos es la más grande? ¿Cuál
es su valor cuando el número de conejos es el más pequeño?
b. ¿Cuál es el tamaño de la población de conejos en la figura
3.53 cuando su derivada es la más grande? ¿Cuál es el su valor
cuando la derivada es la más pequeña (valores negativos)?
96. ¿En qué unidades deben medirse las pendientes de las curvas de
las poblaciones de conejos y zorros?
Límites trigonométricos
1
sen x
97. lím
98. lím
x:0 2x x:0 2 - x
y
–1 1 2
–1
–2
x
y f'(x)
4
3
2
1
y
0 1
3 4 5 6
x
3x - tan 7x
2x
2
A
B
x
2000
1000
100
sen r
99. lím
100.
tan 2r
101.
102.
r:0
lím
u:sp>2d - 4 tan2 u + tan u + 1
tan2 u + 5
lím
u:0 +
1 - 2 cot2 u
5 cot 2 u - 7 cot u - 8
x sen x
103. lím
104.
2 - 2 cos x
x:0
(20, 1700)
0 50 100
Tiempo (días)
150 200
50
0
–50
Número
de zorros
(20, 40)
Número de
conejos
Número inicial de conejos 1000
Número inicial de zorros 40
–100
0 50 100
Tiempo (días)
150 200
Derivada de la población de conejos
(b)
FIGURA 3.53 Conejos y zorros en una cadena alimenticia
depredador-presa en el ártico.
1 - cos u
lím
u:0 u2 Demuestre cómo se extienden las funciones de los ejercicios 105 y
106 para que sean continuas en el origen.
tan stan xd
105. gsxd = 106. ƒsxd =
tan x
sen ssen ud
lím
u:0 u
tan stan xd
sen ssen xd
Razones de cambio o tasas relacionadas
(a)
107. Cilindro circular recto El área total de la superficie S de un
cilindro circular recto está relacionada con el radio de la base r
y la altura h mediante la ecuación S = 2pr
a. ¿Cómo se relaciona dS>dt con dr>dt si h es constante?
b. ¿Cómo se relaciona dS>dt con dh>dt si r es constante?
2 + 2prh.