Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

78. Sumas superior e inferior para funciones decrecientes
(Continuación del ejercicio 77).
a. Dibuje una figura como la del ejercicio 77 para una función
continua f(x) cuyos valores decrezcan de manera constante
cuando x se mueve de izquierda a derecha a lo largo del intervalo
[a, b]. Sea P una partición de [a, b] en subintervalos de
la misma longitud. Encuentre una expresión para U - L del
ejercicio 77a.
b. Suponga que en lugar de ser iguales las longitudes ¢xk de los
subintervalos de P varían de tamaño. Demuestre que la desigualdad
del ejercicio 77b todavía se cumple y que, por lo tanto, límƒƒPƒƒ:0 sU - Ld = 0.
79. Use la fórmula
U - L … ƒ ƒsbd - ƒsad ƒ ¢xmáx
sen h + sen 2h + sen 3h + Á + sen mh
= cos sh>2d - cos ssm + s1>2ddhd
2 sen sh>2d
para encontrar el área debajo de la curva y = sen x de x = 0 a
x = p>2 en dos pasos:
a. Haga una partición del intervalo [0, p>2] en n subintervalos
de la misma longitud, y calcule la suma superior correspondiente
U.
b. Después encuentre el límite de U cuando n : q y
¢x = sb - ad>n : 0.
80. Suponga que f es continua y no negativa en [a, b], como en la figura
de la derecha. Insertando puntos
x1, x2, Á , xk - 1, xk, Á , xn - 1
como se muestra, divida [a, b] en n subintervalos de longitud
¢x1 = x1 - a, ¢x2 = x2 - x1, Á , ¢xn = b - xn - 1, que no tienen
que ser iguales.
a. Si mk = mín 5ƒsxd para x en el k–ésimo subintervalo6, explique
la conexión entre la suma inferior
L = m1 ¢x1 + m2 ¢x2 +
y la región sombreada en la primera parte de la figura.
b. Si Mk = máx 5ƒsxd para x en el k–ésimo subintervalo6, explique
la conexión entre la suma superior
Á + mn ¢xn
U = M1 ¢x1 + M2 ¢x2 +
y la región sombreada en la segunda parte de la figura.
c. Explique la conexión entre U - L y las regiones sombreadas
a lo largo de la curva en la tercera parte de la figura.
81. Decimos que f es uniformemente continua en [a, b] si, dado
cualquier P70 existe d 7 0 tal que si x1, x2 están en [a, b] y
ƒ x1 - x2 ƒ 6 d entonces ƒ ƒsx1d - ƒsx2d ƒ 6P. Se puede probar
que una función continua en [a, b] es uniformemente continua.
Use esto y la figura de la derecha para demostrar que si f es continua
y P70 está dada, es posible hacer U - L …P# sb - ad haciendo
el más largo de los ¢xk’s lo suficientemente pequeño.
82. Si en un viaje de 150 millas el promedio de velocidades es de 30
millas> hora, y después regresa sobre el mismo camino de 150 mi-
Á + Mn ¢xn
y
llas a una razón de 50 millas/hora, ¿cuál es su rapidez promedio
en todo el viaje? Justifique su respuesta. (Fuente: David H. Pleacher,
The Mathematics Teacher, vol. 85, núm. 6, pp. 445-446, septiembre
de 1992).
EXPLORACIONES CON COMPUTADORA
Determinación de sumas de Riemann
Si su software matemático puede dibujar rectángulos asociados a las
sumas de Riemann, úselo para dibujar rectángulos asociados a las sumas
de Riemann que convergen a las integrales de los ejercicios 83 a
88. En cada caso, use n = 4, 10, 20, y 50 subintervalos de la misma
longitud.
1
83. s1 - xd dx = 84.
L0
L0
1
2
5.3 La integral definida 355
0 a x1 x2 x3 xk1 xk xn1 b
y
y f(x)
0 a xk xk1 b
y
0 a xk xk1 b
b a
1
sx 2 + 1d dx = 4
3
x
x
x