Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

134 Capítulo 2: Límites y continuidad
50. Explique por qué los cinco enunciados siguientes están solicitando
la misma información.
a. Encuentre las raíces de
b. Encuentre las coordenadas x de los puntos donde la curva y = x 3
cruza la recta y = 3x + 1.
c. Encuentre los valores de x para los que x 3 – 3x = 1.
d. Encuentre las coordenadas x de los puntos donde la curva cúbica
y = x 3 – 3x cruza la recta y = 1.
e. Resuelva la ecuación x 3 ƒsxd = x
– 3x – 1 = 0.
3 - 3x - 1.
51. Discontinuidad removible Dé un ejemplo de una función
f(x) que sea continua para todos los valores de x, excepto x = 2, en
donde tenga una discontinuidad que sea posible eliminar. Explique
cómo sabe que f es discontinua en x = 2, y cómo sabe que la
discontinuidad se puede eliminar.
52. Discontinuidad no removible Dé un ejemplo de una función
g(x) que sea continua para todos los valores de x, excepto x = –1,
donde tenga una discontinuidad que no sea posible eliminar. Explique
cómo sabe que g es discontinua ahí, y por qué no se puede
eliminar la discontinuidad.
53. Una función discontinua en todos los puntos
a. Use el hecho de que todo intervalo no vacío de números reales
contiene números racionales e irracionales, para probar
que la función
1, si x es racional
ƒsxd = e
0, si x es irracional
es discontinua en todos los puntos.
b. ¿f es continua por la derecha o por la izquierda en algún
punto?
54. Si las funciones f(x) y g(x) son continuas para 0 … x … 1,
¿f(x)/g(x) podría ser discontinua en un punto de [0, 1]? Justifique
su respuesta.
55. Si la función producto hsxd = ƒsxd # gsxd es continua en x = 0,
¿f(x) y g(x) deben ser continuas en x = 0? Justifique su respuesta.
56. Composición discontinua de funciones continuas Dé un ejemplo
de funciones f y g, ambas continuas en x = 0, para las que la
composición ƒ g sea discontinua en x = 0. ¿Esto contradice el
teorema 10? Justifique su respuesta.
57. Funciones continuas que nunca son cero ¿Es cierto que una
función continua que nunca es cero en un intervalo nunca cambia
de signo en ese intervalo? Justifique su respuesta.
2.7
Tangentes y derivadas
T
58. Estiramiento de una liga de hule ¿Es cierto que si se estira
una liga de hule jalando uno de sus extremos hacia la derecha y el
otro hacia la izquierda algún punto de la misma terminará en su
posición original? Justifique su respuesta.
59. Un teorema de punto fijo Suponga que una función f es continua
en un intervalo cerrado [0, 1] y que 0 … ƒsxd … 1 para toda
x en [0, 1]. Demuestre que debe existir un número c en [0, 1] tal
que f(c) = c (c se denomina punto fijo de f).
60. La propiedad de conservar el signo en funciones continuas
Sea f definida en un intervalo (a, b), y suponga que f(c) Z 0 en
alguna c donde f es continua. Demuestre que existe un intervalo
(c – d, c + d) alrededor de c donde f tiene el mismo signo que f(c).
Observe qué importante es esta conclusión. A pesar de que f está
definida en todo (a, b), no se requiere que sea continua en cualquier
punto, excepto en c. Esto, y la condición f(c) Z 0, es suficiente
para hacer f distinta de cero (ya sea positiva o negativa) en
todo un intervalo.
61. Demuestre que f es continua en c si y sólo si
lím ƒsc + hd = ƒscd.
h:0
62. Use el ejercicio 61 y las identidades
sen sh + cd = sen h cos c + cos h sen c,
cos sh + cd = cos h cos c - sen h sen c
para probar que f(x) = sen x y g(x) = cos x son continuas en cualquier
punto x = c.
Resolución gráfica de ecuaciones
Use una calculadora graficadora o una computadora para resolver las
ecuaciones de los ejercicios 63 a 70.
63.
64.
65.
66.
67.
68. x
69. cos x = x (una raíz). Asegúrese de estar usando el modo radianes.
70. 2 sen x = x
radianes.
(tres raíces). Asegúrese de estar usando el modo
3 x
2x + 21 + x = 4
- 15x + 1 = 0 suna raízd
x xsx - 1d
= 2
2 2x
= 1 suna raízd
3 - 2x2 x
- 2x + 1 = 0
3 - 3x - 1 = 0
En esta sección continuaremos el análisis de las secantes y las tangentes, que comenzamos
en la sección 2.1. Calcularemos los límites de las pendientes de las secantes para encontrar
las tangentes a las curvas.
¿Qué es la tangente a una curva?
En el caso de los círculos, comprender qué es una tangente resulta bastante sencillo. Una
recta L es tangente a un círculo en un punto P si L pasa por P y es perpendicular al radio