Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

128 Capítulo 2: Límites y continuidad
(b) Si P(x) y Q(x) son polinomios, entonces la función racional P(x)/Q(x) es continua
siempre que esté definida (Q(c) Z 0), según la regla del cociente del teorema 9.
EJEMPLO 7 Continuidad de la función valor absoluto
La función f(x) = |x| es continua en todo valor de x. Si x > 0, tenemos f(x) = x, una función
polinomial. Si x < 0, tenemos f(x) = –x, otra función polinomial. Finalmente, en el origen,
límx:0 ƒ x ƒ = 0 = ƒ 0 ƒ.
Las funciones y = sen x y y = cos x son continuas en x = 0, de acuerdo con el ejemplo
6 de la sección 2.2. Ambas funciones son, de hecho, continuas en todos lados (vea el
ejercicio 62). En consecuencia, según el teorema 9, las seis funciones trigonométricas
son continuas siempre que estén definidas. Por ejemplo, y = tan x es continua en
sp>2, 3p>2d ´ Á Á ´ s -p>2, p>2d ´
.
Funciones compuestas
Todas las composiciones de funciones continuas son continuas. La idea es que si f(x) es
continua en x = c y g(x) es continua en x = f(c), entonces g f es continua en x = c (figura
2.57). En este caso, el límite cuando x : c es g( f (c)).
c
f
Continua
en c
g ˚ f
Continua en c
g
Continua
en f(c)
f(c) g( f(c))
FIGURA 2.57 La composición de funciones continuas es continua.
TEOREMA 10 Composición de funciones continuas
Si f es continua en c y g es continua en f(c), entonces la composición g f
continua en c.
es
Desde el punto de vista intuitivo, el teorema 10 es razonable, ya que si x está cerca de
c, entonces f(x) está cerca de f(c), y como g es continua en f(c), resulta que g(f(x)) está
cerca de g(f(c)).
La continuidad de composiciones se cumple para cualquier número finito de funciones.
El único requerimiento es que cada función sea continua donde está aplicada. En el
ejercicio 6 del Apéndice 2 se presenta un resumen de la prueba del teorema 10.
EJEMPLO 8 Aplicación de los teoremas 9 y 10
Probar que las funciones siguientes son continuas en todos los puntos de sus respectivos
dominios.
(a) (b) y =
(c)
x - 2
y = `
x sen x
(d) y = ` x2>3
1 + x4 y = 2x2 - 2x - 5
x 2 - 2 `
x 2 + 2 `