Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

a
y
Curva superior
y f(x)
b
Curva inferior
y g(x)
FIGURA 5.27 La región entre las
curvas y = ƒsxd y y = gsxd y las
rectas x = a y x = b.
y
a x 0 x 1
x 2
y f(x)
x n1
x
x
b xn y g(x)
FIGURA 5.28 Aproximamos la
región con rectángulos
perpendiculares al eje x.
a
y
(c k , f(c k ))
A k
c k
x k
f(c k ) g(c k )
(c k , g(c k ))
FIGURA 5.29 El área ¢Ak
del k-ésimo
rectángulo es el producto de su altura,
ƒsckd - gsckd, y su ancho, ¢xk.
x
b
Demostración del inciso (a)
La demostración del inciso (b) es totalmente similar, y se le pedirá que la lleve a cabo en el
ejercicio 86.
Las afirmaciones del teorema 7 siguen siendo válidas cuando f es una función integrable
(en lugar de tener la propiedad más fuerte de ser continua), pero su demostración es
un poco más complicada, así que la dejaremos para un curso más avanzado.
EJEMPLO 3 Integral de una función par
Evaluar
Solución Como ƒsxd = x satisface ƒs -xd = ƒsxd, es par en un intervalo
simétrico [-2, 2], de manera que
4 - 4x2 + 6
Área entre curvas
2
L
a
-a
sx
L-2
4 - 4x2 + 6d dx.
2
ƒsxd dx = L
0
-a
= - L
= - ƒs -uds -dud + ƒsxd dx
L
L0
0
a
= ƒs -ud du + ƒsxd dx
L
L
0
a
ƒsxd dx + ƒsxd dx
L0
0
a
= ƒsud du + ƒsxd dx
L0
L0
a
-a
= 2 ƒsxd dx
L0
ƒsxd dx + ƒsxd dx
L0
sx
L-2
4 - 4x2 + 6d dx = 2 sx
L0
4 - 4x2 + 6d dx
= 2 c x5
5
= 2 a 32
5
5.6 Sustitución y área entre curvas 379
4
-
3 x3 2
+ 6x d
0
- 32
3
+ 12b = 232
15 .
Suponga que queremos encontrar el área de una región acotada por arriba por la curva
y = ƒsxd, por abajo por la curva y = gsxd, por la izquierda y derecha por las rectas
x = a y x = b (figura 5.27). Con suerte, la región podría tener una forma cuya área pudiéramos
encontrar geométricamente, pero si f y g son funciones continuas arbitrarias,
usualmente tenemos que encontrar el área con una integral.
Para ver cuál sería dicha integral, primero aproximamos la región con n rectángulos
verticales, basándonos en una partición P = 5x0, x1, Á , xn6 de [a, b] (figura 5.28). El
área del k-ésimo rectángulo (figura 5.29) es
¢Ak = altura * ancho = [ƒsckd - gsckd] ¢xk.
2
a
0
a
a
a
a
Regla aditiva para las
integrales definidas
Regla del orden de
integración
Sea u = -x, du = -dx.
Cuando x = 0, u = 0.
Cuando x = -a, u = a.
ƒ es par, de manera que
ƒs -ud = ƒsud.