Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

194 Capítulo 3: Derivadas
BIOGRAFÍA HISTÓRICA
Johann Bernoulli
(1667-1748)
EJEMPLO 5 Cadena de tres eslabones
Encontrar la derivada de g(t) = tan (5 – sen 2t).
Solución Observe que, en este ejemplo, la tangente es una función de 5 – sen 2t, mientras
que el seno es una función de 2t, que a su vez es una función de t. De esta manera y de
acuerdo con la regla de la cadena,
La regla de la cadena con potencias de una función
Si f es una función diferenciable de u y si u es una función diferenciable de x, sustituyendo
y = f(u) en la fórmula de la regla de la cadena
nos lleva a la fórmula
Un ejemplo de cómo funciona este procedimiento es el siguiente: si n es un entero positivo
o negativo y las reglas de las potencias (reglas 2 y 7) nos dicen que
ƒ¿sud = nu Si u es una función diferenciable de x, entonces podemos usar la regla de
la cadena para extenderla a la regla de la cadena de potencias:
n - 1 ƒsud = u
.
n ,
EJEMPLO 6 Aplicación de la regla de la cadena de potencias
(a)
(b)
g¿std = d
Atan A5 - sen 2tBB
dt
d
dx s5x3 - x4d7 = 7s5x3 - x4 6 d
d
dx A5x3 - x4 B
= 7s5x 3 - x 4 d 6 s5 # 3x 2 - 4x 3 d
= 7s5x 3 - x 4 d 6 s15x 2 - 4x 3 d
d
dx a
1 d
b = s3x - 2d-1
3x - 2 dx
-2 d
= -1s3x - 2d s3x - 2d
dx
= -1s3x - 2d -2 s3d
=-
= sec2 s5 - sen 2td # d
A5 - sen 2tB
dt
= sec2 s5 - sen 2td # a0 - cos 2t # d
A2tB b
dt
= sec 2 s5 - sen 2td # s -cos 2td # 2
= -2scos 2td sec 2 s5 - sen 2td.
d
dx un n - 1 du
= nu
dx .
3
s3x - 2d 2
dy
dx
dy
= # du
du dx
d
du
ƒsud = ƒ¿sud
dx dx .
d
du Aun n - 1 B = nu
Derivada de u con
u = 5 - sen 2t
Derivada de 5 - sen u
con u = 2t
Regla de la cadena de potencias con
u = 5x 3 - x 4 , n = 7
Regla de la cadena de potencias con
u = 3x - 2, n = -1
En el inciso (b) también podríamos haber obtenido la derivada con la regla del cociente.