Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

352 Capítulo 5: Integración
2
1
–2 –1 1 2
y
f(x) 4 x 2
y
2
FIGURA 5.15 El valor promedio de
ƒsxd = 24 - x en [-2, 2] es p>2
(ejemplo 5).
2
EJERCICIOS 5.3
Expresión de límites como integrales
x
El promedio se obtiene dividiendo una suma de Riemann para f en [a, b] entre
sb - ad. Conforme incrementamos el tamaño de la muestra y hacemos que la norma de la
b
partición tienda a cero, el promedio se aproxima a (1>(b - a)) 1a ƒsxd dx. Ambos puntos
de vista nos llevan a la siguiente definición.
DEFINICIÓN El promedio o valor medio de una función
Si f es integrable en [a, b], su valor promedio en [a, b], también llamado valor
medio es
promsƒd =
1
b - a
EJEMPLO 5 Determinación de un valor promedio
b
ƒsxd dx.
La
Encontrar el valor promedio de ƒsxd = 24 - x en [-2, 2].
2
Solución Reconocemos ƒsxd = 24 - x como una función cuya gráfica es el semicírculo
superior de radio 2 con centro en el origen (figura 5.15).
El área entre el semicírculo y el eje x de -2 a 2 puede calcularse usando la fórmula
geométrica
2
Debido a que f es no negativa, el área también es el valor de la integral de f, de -2 a 2,
Por lo tanto, el valor promedio de f es
Exprese los límites de los ejercicios 1 a 8 como integrales definidas.
n
a ck
ƒƒPƒƒ:0 k = 1
2 ¢xk,
1. lím
donde P es una partición de [0, 2].
n
2. lím 2ck donde P es una partición de [-1, 0]
3 ¢xk,
a
ƒƒPƒƒ:0 k = 1
n
3. lím sck donde P es una partición de [-7, 5]
2 - 3ckd ¢xk,
a
ƒƒPƒƒ:0 k = 1
n
4. lím a donde P es una partición de [1, 4]
1 ck
b ¢xk,
a
ƒƒPƒƒ:0 k = 1
avsƒd =
Área = 1
2 # pr 2 = 1
2 # ps2d 2 = 2p.
L
2
-2
1
2 - s -2d
24 - x 2 dx = 2p.
L
n
2
-2
24 - x2 dx = 1 p
s2pd =
4 2 .
1
5. lím
¢xk,
donde P es una partición de [2, 3].
1 - ck
a
ƒƒPƒƒ:0 k = 1
n
6. lím 24 - ck donde P es una partición de [0, 1].
2 ¢xk,
a
ƒƒPƒƒ:0 k = 1
n
7. lím ssec ckd ¢xk, donde P es una partición [-p>4, 0]
a
ƒƒPƒƒ:0 k = 1
n
8. lím stan ckd ¢xk, donde P es una partición de [0, p>4]
a
ƒƒPƒƒ:0 k = 1