Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

R(x) –x 3
R(x) –x 3
(–2, 5)
r(x) x 2 1
–2 x
0
Intervalo de
integración
(a)
(–2, 5)
r(x) x 2 1
Sección transversal, arandela
Radio exterior: R(x) –x 3
Radio interior: r(x) x2 1
(b)
x
0
y
a
6.1 Cálculo de volúmenes por secciones transversales y por rotación alrededor de un eje 403
x
b
y R(x)
y r(x)
Sólidos de revolución: el método de las arandelas
Si la región que se hace girar para generar un sólido no se acerca al eje de rotación ni está
en él, el sólido tendrá un agujero (figura 6.13). En lugar de discos, las secciones transversales
perpendiculares al eje de rotación son arandelas (la superficie circular en la parte
central de la última imagen de la figura 6.13). Las dimensiones de una arandela representativa
son
El área de la arandela es
x
0
y y
Radio exterior: Rsxd
Radio interior: rsxd
Asxd = p[Rsxd] 2 - p[rsxd] 2 = ps[Rsxd] 2 - [rsxd] 2 d.
En consecuencia, la definición de volumen nos da
x
Este método para calcular el volumen de un sólido de revolución se denomina método de
las arandelas, ya que cada pieza es una arandela circular con radio exterior R(x) y radio
interior r(x).
EJEMPLO 9 Arandelas como secciones transversales (rotación alrededor del eje x)
Para generar un sólido se hace girar la región acotada por la curva y = x 2 + 1 y la recta
y = –x + 3 alrededor del eje x. Determinar el volumen del sólido.
Solución
1. Dibuje la región y haga el bosquejo de un segmento de recta que la cruce y sea perpendicular
al eje de rotación (el segmento en la parte central de la figura 6.14).
2. Determine los radios exterior e interior de la arandela que se generaría al hacer girar
este segmento alrededor del eje x.
x
0
x
(x, R(x))
(x, r(x))
Arandela
FIGURA 6.13 Las secciones transversales del sólido de revolución generado son arandelas, no discos, por lo que la
integral Asxd dx lleva a una fórmula ligeramente diferente.
y
y
1 b
a
y –x 3
1
(1, 2)
y x 2 1
(1, 2)
FIGURA 6.14 (a) La región del ejemplo
9 generada por el segmento de recta
perpendicular al eje de rotación.
(b) Cuando la región se hace girar
alrededor del eje x, el segmento de recta
genera una arandela.
x
x
b
b
V = Asxd dx = ps[Rsxd]
La
La
2 - [rsxd] 2d dx.
x