Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

. Demuestre, haciendo referencia a la figura siguiente, que si
0 6 a 6 b entonces then
e sln a + ln bd>2 # sln b - ln ad 6 L
c. Utilice la desigualdad del inciso (b) para concluir que
2ab 6
ln a
ln b
b - a
ln b - ln a
e x dx 6 eln a ln b
+ e # sln b - ln ad.
2
a + b
6 .
2
Esta desigualdad dice que la media geométrica de dos números
positivos es menor que su media logarítmica, la cual, a su vez,
es menor que su media aritmética.
(Para más información acerca de esta desigualdad, consulte
“The Geometric, Logarithmic, and Arithmetic Mean Inequa-
7.4
a x
y loga x
7.4 a y loga x 495
x
lity”, de Frank Burk, en American Mathematical Monthly, volumen
94, número 6, junio-julio de 1987, páginas 527-528).
E
B
A
ln a
M
F
C
D
ln a ln b ln b
2
NO ESTÁ A ESCALA
y e x
Hemos definido funciones exponenciales generales tales como 2 x , 10 x y En esta
sección calcularemos sus derivadas e integrales. También definiremos las funciones logarítmicas
generales tales como log2 x, log10 x y logp x, y determinaremos sus derivadas e
integrales.
Derivada de
a u
Comencemos con la definición ax = ex ln a :
Si a 7 0, entonces
d
dx ax = d
dx ex ln a = ex ln a # d
sx ln ad
dx
= a x ln a.
d
dx ax = a x ln a.
Con la regla de la cadena obtenemos una forma general.
d
dx eu u du
= e
dx
Si y u es una función diferenciable de x, entonces a u a 7 0
es una función diferenciable
de x y
d
dx au = au ln a du
dx .
Estas ecuaciones muestran por qué la función preferida, desde el punto del vista del cálculo,
es e x . Si a = e, entonces ln a = 1 y la derivada de a x se reduce a
d
dx ex = e x ln e = e x .
x
p x .
(1)