Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

20
15
10
5
y
y x 3 x 1
–1 0 1 2 3
FIGURA 4.45 La gráfica de
x cruza el eje x una vez; ésta es
la raíz que queremos encontrar (ejemplo 2)
3 ƒsxd =
- x - 1
x 0
Raíz buscada
1 1.5
(1, –1)
y x 3 x 1
(1.5, 0.875)
1.3478
FIGURA 4.46 Los primeros tres valores
de x en la tabla 4.1 (cuatro lugares
decimales).
x 2
x 1
x
x
4.7 El método de Newton 301
Solución Con ƒsxd = x y ƒ¿sxd = 2x, la ecuación (1) se convierte en
2 - 2
La ecuación
nos permite ir de una aproximación a la siguiente con muy poco esfuerzo. Con el valor inicial
x0 = 1, obtenemos los resultados de la primera columna de la tabla siguiente.
( 22 = 1.41421. con cinco cifras decimales.)
x0 = 1
x1 = 1.5
x2 = 1.41667
x3 = 1.41422
Número de
Error dígitos correctos
-0.41421 1
0.08579 1
0.00246 3
0.00001 5
El método de Newton es el método usado por la mayoría de las calculadoras para determinar
raíces, ya que converge muy rápido (más adelante hablaremos más a fondo de esto).
Si la aritmética de la tabla del ejemplo 1 se hubiera hecho con 13 lugares decimales en
lugar de 5, dar un paso más nos daría 22 con más de 10 lugares decimales correctos.
EJEMPLO 2 Uso del método de Newton
xn + 1 = xn - xn 2 - 2
2xn
= xn - xn
2 + 1 xn
= xn
2 + 1 xn .
xn + 1 = xn
2 + 1 xn
Encontrar la coordenada x del punto donde la curva y = x cruza la recta horizontal
y = 1.
3 - x
Solución La curva cruza a la recta cuando o ¿En qué
momento ƒsxd = x es igual a cero? Como ƒs1d = -1y
ƒs2d = 5, el teorema
del valor intermedio nos dice que existe una raíz en el intervalo (1, 2) (figura 4.45).
Aplicamos el método de Newton a f con el valor inicial x0 = 1. Los resultados están
expuestos en la tabla 4.1 y la figura 4.46.
En n = 5, llegamos al resultado x6 = x5 = 1.3247 17957. Cuando xn + 1 = xn, la
ecuación (1) muestra que ƒsxnd = 0. Hemos encontrado una solución de ƒsxd = 0 con
nueve decimales.
3 x
- x - 1
3 x - x - 1 = 0.
3 - x = 1
En la figura 4.47 hemos indicado que el proceso del ejemplo 2, podría empezarse en
el punto de la curva, con El punto está bastante lejos del eje x, pero
la tangente en cruza el eje x alrededor de (2.12, 0), de manera que sigue siendo mejor
que Si usamos la ecuación (1) repetidamente como antes, con
y ƒ¿sxd = 3x confirmamos la solución con nueve lugares decimales, x7 = x6 =
1.3247 17957 en siete pasos.
2 ƒsxd = x
- 1,
3 B0s3, 23d
x0 = 3. B0
B0
x1
x0.
- x - 1