Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Función
decreciente
y
y x 2
Función
creciente
2
y' 0 y' 0
–2
–1
4
3
1
0 1
y' 0
2
FIGURA 4.21 La función ƒsxd = x es
monótona en los intervalos s - q, 0] y
[0, q d, pero no lo es en s - q, q d.
2
4.3 Funciones monótonas y el criterio de la primera derivada 263
DEFINICIONES Función creciente, función decreciente
Sea f una función definida en un intervalo I, y sean x1 y x2 dos puntos cualesquiera
en I.
1. Si ƒsx1d 6 ƒsx2d siempre que x1 6 x2, entonces se dice que f es creciente
en I.
2. Si ƒsx2d 6 ƒsx1d siempre que x1 6 x2, entonces se dice que f es decreciente
en I.
A las funciones crecientes o decrecientes en I se les llama monótonas en I.
Es importante tener en cuenta que las definiciones de funciones crecientes y decrecientes
se deben satisfacer en todo par de puntos y en I con Debido a la desigualdad
al comparar los valores de la función es y no algunos libros dicen que f
es estrictamente creciente o decreciente en I. El intervalo I puede ser finito o infinito.
La función ƒsxd = x decrece en s - q, 0] y crece en [0, q d como se puede ver en
su gráfica (figura 4.21). La función f es monótona ens - q, 0] y en [0, q d, pero no lo es
en s - q, q d. Observe que en el intervalo s - q, 0d las tangentes tienen pendientes negativas,
de manera que la primera derivada es siempre negativa ahí; para s0, q d las tangentes
tienen pendientes positivas y la primera derivada es positiva. El resultado siguiente
confirma estas observaciones.
2
x1 x2 x1 6 x2.
6 … ,
x
COROLARIO 3 Criterio de la primera derivada para funciones
monótonas
Supongamos que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b).
Si ƒ¿sxd 7 0 en cada punto x H sa, bd, entonces ƒ es creciente en [a, b].
Si ƒ¿sxd 6 0 en cada punto x H sa, bd, entonces ƒ es creciente en [a, b].
Demostración Sean x1
y x2 dos puntos cualesquiera en [a, b] con x1 6 x2. Aplicado a
f en [x1, x2] , el teorema del valor medio dice que
ƒsx2d - ƒsx1d = ƒ¿scdsx2 - x1d
para algún c entre x1 y x2. El signo del lado derecho de esta ecuación es el mismo que el
signo de ƒ¿scd,
ya que x2 - x1 es positivo. Por lo tanto, ƒsx2d 7 ƒsx1d si ƒ¿ es positiva en
(a, b) y ƒsx2d 6 ƒsx1d si ƒ¿ es negativa en (a, b).
A continuación veremos cómo se aplica el criterio de la primera derivada para encontrar
en qué puntos una función es creciente y en cuáles es decreciente. Si a 6 b son dos
puntos críticos para una función f, y si ƒ¿ existe pero no es cero en el intervalo (a, b), entonces
ƒ¿ tiene que ser positiva en (a, b) o negativa ahí (teorema 2 de la sección 3.1). Una
manera para determinar el signo de ƒ¿ consiste simplemente en evaluar ƒ¿ en algún punto x
en (a, b). Después aplicamos el corolario 3.
EJEMPLO 1 Uso del criterio de la primera derivada para funciones monótonas
Encontrar los puntos críticos de ƒsxd = x identificar los intervalos en los
que f es creciente y en los que es decreciente.
3 - 12x - 5
Solución La función f es continua y diferenciable en todas partes. La primera derivada
ƒ ¿sxd = 3x
= 3sx + 2dsx - 2d
2 - 12 = 3sx 2 - 4d