Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

606 Capítulo 8: Técnicas de integración
Utilizando T para aproximar 1 tenemos
b
ƒsxd dx,
Si se redondea para dar precisión a los datos dados, estimamos la temperatura en 65
grados.
Estimación del error para la regla del trapecio
Cuando n aumenta y el tamaño del paso tiende a cero, T tiende al valor
exacto de 1 Para ver por qué, escribimos
b
¢x = sb - ad>n
ƒsxd dx.
Cuando n : q y ¢x : 0,
Por lo tanto,
a
n
lím
n: q T = La
Esto significa que, en teoría, podemos hacer la diferencia entre T y la integral tan pequeña
como queramos, tomando n suficientemente grande y suponiendo solamente que f sea
integrable. Sin embargo, ¿qué tan grande debemos hacer a n en la práctica para una tolerancia
dada?
Responderemos esta pregunta con un resultado del cálculo avanzado, que dice: si ƒ–
es continua en [a, b], entonces
La
para algún número c entre a y b. Así, cuando ¢x tiende a cero, el error definido por
ET =-
se aproxima a cero como el cuadrado de
La desigualdad
b
a
promedio sƒd L
T =¢x a 1
2 y0 + y1 + y2 + Á + yn - 1 + 1
2 ynb
a ƒsxkd¢x :
k = 1 La
= s y1 + y2 + Á + ynd¢x + 1
2 s y0 - ynd ¢x
n
= a ƒsxkd¢x +
k = 1
1
[ƒsad - ƒsbd] ¢x.
2
b
ƒsxd dx = T -
ƒ ET ƒ …
ƒsxd dx y 1
[ƒsad - ƒsbd]¢x : 0.
2
b
b - a
12 máx ƒ ƒ–sxd ƒ s¢xd 2 ,
en donde máx se refiere al intervalo [a, b], proporciona una cota superior para la magnitud
del error. En la práctica, por lo regular no podemos determinar el valor exacto de
máx ƒ ƒ–sxd ƒ y en su lugar tenemos que estimar una cota superior o valor para el “peor caso”.
Si M es cualquier cota superior para los valores de ƒ ƒ–sxd ƒ en [a, b], de modo que
ƒ ƒ–sxd ƒ … M en [a, b], entonces
ƒ ET ƒ …
1
b - a # T = 1
12 # 782 L 65.17.
ƒsxd dx + 0 =
La
b - a
12
¢x.
b - a
12
b
# ƒ–scds¢xd 2
b - a
12 Ms¢xd2 .
ƒsxd dx.
# ƒ–scds¢xd 2