Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Es fácil convencernos de que las propiedades del teorema 1 son válidas (aunque estos
argumentos intuitivos no constituyen una prueba de ello). De acuerdo con nuestra definición
informal de límite, si x está suficientemente cerca de c, f(x) está cerca de L y g(x) está
cerca de M. Por lo tanto, es razonable que f(x) + g(x) esté cerca de L + M; que f(x) – g(x)
esté cerca de L – M; que f(x)g(x) esté cerca de LM; que kf(x) esté cerca de kL; y que
f(x)/g(x) esté cerca de L/M si M es distinto de cero. En la sección 2.3 probaremos la regla
de la suma, basándonos en una definición más precisa de límite que se discutió antes. Las
reglas 2-5 se comprueban en el apéndice 2. La regla 6 se prueba en textos más avanzados.
A continuación se dan algunos ejemplos en los que puede usarse el teorema 1 para encontrar
los límites de funciones polinomiales y racionales.
EJEMPLO 1 Uso de las leyes de los límites
Usar las observaciones límx:c k = k y límx:c x = c (ejemplo 8 de la sección 2.1) y las
propiedades de los límites para encontrar los siguientes límites.
(a) (b) lím
(c)
x:c x4 + x2 - 1
x2 lím
x:c + 5
sx3 + 4x2 - 3d
Solución
(a) lím
x:c
Reglas de la suma y la diferencia
sx3 + 4x2 - 3d = lím x
x:c 3 + lím 4x
x:c 2 - lím 3
x:c
Reglas del producto y el múltiplo
(b) lím
Regla del cociente
x:c x4 + x 2 - 1
x2 lím
x:c
=
+ 5
sx4 + x2 - 1d
lím
x:c sx2 + 5d
=
2.2 Cálculo de límites mediante las leyes de los límites 85
4. Regla del múltiplo constante: lím
x:c
El límite de una constante multiplicada por una función es la constante por el límite
de la función.
sk # ƒsxdd = k # L
5. Regla del cociente:
El límite del cociente de dos funciones es el cociente de sus límites, siempre y
cuando el límite del denominador sea distinto de cero.
6. Regla de la potencia: Si r y s son enteros sin factores comunes y s Z 0, entonces
= c 3 + 4c 2 - 3
lím
x:c x4 + lím
x:c x 2 - lím
x:c 1
lím
x:c x2 + lím 5
x:c
= c4 + c 2 - 1
c 2 + 5
lím
x:c ƒsxd
gsxd
L
= , M Z 0
M
siempre y cuando L r/s lím
x:c
sea un número real. (Si s es par, suponemos que L > 0).
sƒsxddr>s = Lr>s El límite de una potencia racional de una función es el límite de la función elevado
a esa potencia, siempre y cuando esta última sea un número real.
lím
x: -2 24x2 - 3
Reglas de la suma y la diferencia
Regla de la potencia o el producto