Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

186 Capítulo 3: Derivadas
s
0
5
5
Posición
en reposo
Posición en
t 0
FIGURA 3.24 Un cuerpo que cuelga del
extremo de un resorte y después se
desplaza, oscila hacia arriba y hacia abajo
de la posición de reposo. Su movimiento
está descrito por funciones trigonométricas
(ejemplo 3).
s, y
0
y 5 sen t s 5 cos t
2
3 2
2
5
2
FIGURA 3.25 Las gráficas de la posición
y la velocidad del cuerpo del ejemplo 3.
t
Movimiento armónico simple
El movimiento que describe un objeto bamboleándose libremente hacia arriba y hacia abajo,
en el extremo de un resorte o una cuerda elástica, es un ejemplo de movimiento armónico
simple. El ejemplo siguiente describe un caso en donde no hay fuerzas opuestas como
la fricción o la flotación que desaceleren el movimiento.
EJEMPLO 3 Movimiento en un resorte
Un objeto que cuelga de un resorte (figura 3.24) se estira 5 unidades desde su posición de
reposo y se suelta en el tiempo t = 0 para que se mueva hacia arriba y hacia abajo. Su posición
en cualquier tiempo t posterior es
¿Cuáles son su velocidad y su aceleración en el tiempo t?
Solución Tenemos que
Posición:
Velocidad:
Aceleración: a =
Observe todo lo que podemos aprender de estas ecuaciones:
dy
y =
d
= s -5 sen td = -5 cos t.
dt dt ds
s = 5 cos t
d
= s5 cos td = -5 sen t
dt dt
1. Conforme pasa el tiempo, el cuerpo se mueve hacia abajo y hacia arriba entre s = –5
y s = 5 en el eje s. La amplitud del movimiento es 5. El periodo del movimiento es 2p.
2. La velocidad y =-5 sen t alcanza su mayor magnitud, 5, cuando cos t = 0, como
muestran las gráficas de la figura 3.25. Ahora bien, la rapidez del cuerpo, ƒ y ƒ = 5
ƒ sen t ƒ , es mayor cuando cos t = 0, esto es, cuando s = 0 (la posición de reposo). La
rapidez del cuerpo es cero cuando sen t = 0. Esto ocurre cuando s = 5 cos t = ;5, en
los extremos del intervalo del movimiento.
3. El valor de la aceleración siempre es exactamente el opuesto del valor de posición. Cuando
el cuerpo está arriba de la posición de reposo, la gravedad lo tira hacia abajo. Cuando
el cuerpo está debajo de la posición de reposo, el resorte lo jala hacia arriba.
4. La aceleración, a = –5 cos t, es cero solamente en la posición de reposo, donde cos t = 0
y la fuerza de la gravedad y la fuerza del resorte se compensan entre ellas. Cuando el
cuerpo está en cualquier otro lado, las dos fuerzas son desiguales y la aceleración no
es cero. La aceleración alcanza su máxima magnitud en los puntos más alejados de la
posición de reposo, donde cos t = ;1.
EJEMPLO 4 Sacudida
En el caso del movimiento armónico simple del ejemplo 3, la sacudida es
La sacudida alcanza su magnitud más grande cuando sen t = ;1, no en los extremos del
desplazamiento, sino en la posición de reposo, donde la aceleración cambia de dirección
y de signo.
Derivadas de las demás funciones trigonométricas básicas
Como sen x y cos x son funciones diferenciables de x, las funciones relacionadas
tan x =
j = da
dt
s = 5 cos t.
d
= s -5 cos td = 5 sen t.
dt
sen x
cos x
cos x , cot x = sen x , sec x =
1
cos x y csc x =
1
sen x