Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

116 Capítulo 2: Límites y continuidad
f(x) 1
x 2
–5
–4
B
y
x 0 x
(a)
g(x)
1
(x 3) 2
–3
–2
(b)
No importa que tan
alta esté B, la gráfica
va más alto.
–1
FIGURA 2.39 Las gráficas de las
funciones del ejemplo 2. (a) f(x) tiende a
infinito conforme x : 0.
(b) g(x) tiende
a infinito conforme x : -3.
5
4
3
2
1
0
y
x
x
EJEMPLO 2 Límites bilaterales infinitos
Discutir el comportamiento de
(a)
(b)
Solución
(a) Cuando x se aproxima a cero por cualquier lado, los valores de 1/x 2 son positivos y se
vuelven arbitrariamente grandes (figura 2.39a):
(b) La gráfica de g(x) = 1/(x + 3) 2 es la gráfica de f(x) = 1/x 2 desplazada 3 unidades a la
izquierda (figura 2.39b). Por lo tanto, g se comporta exactamente igual cerca de –3
que f cerca de cero.
EJEMPLO 3 Las funciones racionales pueden comportarse de distintas maneras cerca
de los ceros de sus denominadores
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
ƒsxd =
1
gsxd = cerca de x = -3.
2 sx + 3d 1
cerca de x = 0,
2 x
La función y = 1/x muestra un comportamiento inconsistente cuando Tenemos
que si pero si Lo único que podemos decir acerca
del es que no existe. La función y = 1/x 2 es distinta. Sus valores tienden al infinito
cuando x se aproxima a cero por cualquier lado, de manera que podemos decir que
límx:0 s1>x2 x : 0
límx:0 s1>xd
d = q .
- x : 0 1>x : - q .
+ 1
lím gsxd = lím
x: -3 x: -3 sx + 3d
x : 0.
1>x : q ,
2 = q .
lím
x:2
lím
x:2
x - 3
lím-
x:2 x2 x - 3
lím+
x:2 x
- 4 2 - 4
lím
x:2
lím
x:2
sx - 2d2
x2 - 4
x - 2
x 2 - 4
x - 3
x 2 - 4
= lím
x:2
= lím
x:2
= lím
x:2 +
= lím
x:2 -
= lím
x:2
2 - x
= lím 3 sx - 2d x:2
lím ƒsxd = lím
x:0 x:0 1
x2 = q .
sx - 2d 2
sx - 2dsx + 2d
x - 2
sx - 2dsx + 2d
x - 3
sx - 2dsx + 2d
x - 3
sx - 2dsx + 2d = q
x - 3
sx - 2dsx + 2d
-sx - 2d
= lím
3 sx - 2d x:2
= lím
x:2
= lím
x:2
= -q
no existe.
En los incisos (a) y (b), el efecto del cero en el denominador en x = 2 se cancela, ya
que el numerador también es cero. Por lo tanto, existe un límite finito. Esto es falso en el
inciso (f), donde la cancelación todavía deja un cero en el denominador.
Definición formal de los límites infinitos
x - 2
x + 2
1
x + 2
-1
= -q
2 sx - 2d
En lugar de requerir que f(x) esté arbitrariamente cercano de un número finito L para toda
x suficientemente cerca de x 0, las definiciones de límites infinitos requieren que f(x) se
= 0
= 1
4
Los valores son
negativos para x > 2, x
cerca de 2.
Los valores son positivos
para x < 2, x cerca de 2.
Vea los incisos (c) y (d)