Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

EJERCICIOS 4.7
Determinación de raíces
1. Use el método de Newton para estimar las soluciones de la ecuación
Empiece con para la solución de
la izquierda, y con para la solución de la derecha. Después,
en cada caso encuentre
2. Use el método de Newton para estimar la solución real de
Empiece con y después encuentre
3. Emplee el método de Newton para estimar dos ceros de la función
Empiece con para el cero de la izquierda,
y con para el cero de la derecha. Después, encuentre
en cada caso
4. Use el método de Newton para estimar dos ceros de la función
Empiece con para el cero de la izquierda,
y con para el cero de la derecha. Después, encuentre
en cada caso
5. Use el método de Newton para encontrar las cuatro raíces positivas
de 2 resolviendo la ecuación Empiece con
y encuentre
6. Emplee el método de Newton para encontrar las cuatro raíces negativas
de 2 resolviendo la ecuación x Empiece con
x0 = -1y
encuentre x2.
4 x
x0 = 1
x2.
- 2 = 0.
4 ƒsxd = 2x - x x0 = 0
x0 = 2
x2.
- 2 = 0.
2 ƒsxd = x x0 = -1
x0 = 1
x2.
+ 1.
4 x x0 = 0
x2.
+ x - 3.
3 x x0 = -1
x0 = 1
x2.
+ 3x + 1 = 0.
2 + x - 1 = 0.
Teoría, ejemplos y aplicaciones
7. Conjetura de una raíz Imagine que su primera suposición es
afortunada, en el sentido de que x0 es una raíz de ƒsxd = 0. Suponiendo
queƒ¿sx0d está definida y no es cero, ¿qué pasa con x1
las aproximaciones subsecuentes?
y
8. Estimación de pi Se quiere estimar p>2 con cinco lugares decimales
usando el método de Newton para resolver la ecuación
cos x = 0. ¿Importa con qué valor se empieza? Justifique su respuesta.
9. Oscilación Demuestre que si h 7 0, aplicar el método de Newton
a
2x,
ƒsxd = e
2-x,
x Ú 0
x 6 0
lleva a x1 = -h si x0 = h y x1 = h si x0 = -h. Dibuje una figura
para mostrar qué está pasando.
ƒ ƒ
10. Aproximaciones que van de mal en peor Aplique el método
de Newton a ƒsxd = x y calcule x1, x2, x3, y x4.
Determine una fórmula para |xn|. ¿Qué ocurre con xn cuando
n : q ? Dibuje una figura que muestre qué está ocurriendo.
1>3 con x0 = 1
11. Explique por qué los cuatro enunciados siguientes están solicitando
la misma información
i) Encuentre las raíces de
ii) Encuentre las coordenadas x de las intersecciones de la curva
y = x con la recta y = 3x + 1.
3
ƒsxd = x3 - 3x - 1.
4.7 El método de Newton 305
atracción en el plano complejo (Apéndice 5). Empezando con puntos en la depresión inferior
son atraídos a la raíz 1, aquellos en la depresión de la esquina inferior derecha, a la
raíz s1>2d + A 23>2Bi, y así sucesivamente. Cada depresión tiene una frontera cuyo patrón
complicado se repite indefinidamente con magnificaciones sucesivas. Estas depresiones
son llamadas depresiones fractales.
iii) Encuentre las coordenadas x de los puntos donde la curva
cruza la recta horizontal
iv) Encuentre los valores de x donde la derivada de
s1>4dx es igual a cero.
4 - s3>2dx 2 y = x y = 1.
gsxd =
- x + 5
3 - 3x
12. Localización de un planeta Para calcular las coordenadas que
ocupa un planeta en el espacio, tenemos que resolver ecuaciones
como Graficar la función f (x) = x - 1 - 0.5
sen x sugiere que la función tiene una raíz cerca de Use
una aplicación del método de Newton para mejorar esta estimación.
Esto es, empiece con y encuentre (Con cinco
lugares decimales, el valor de la raíz es 1.49870.) Recuerde utilizar
radianes.
13. Un programa para usar el método de Newton en una calculadora
graficadora Sea A continuación
se explica un programa casero para realizar los cálculos con el
método de Newton.
a. Sea y
b. Almacene
c. Después almacene en x y presione la tecla de
Enter (o Intro) una y otra vez. Vea cómo los números convergen
al cero de f.
d. Use diferentes valores de x0 y repita los pasos de los incisos
(b) y (c).
e. Escriba su propia ecuación y use esta aproximación para resolverla
usando el método de Newton. Compare su respuesta
con la obtenida mediante la función de su calculadora que da
los ceros de funciones.
14. (Continuación del ejercicio 11).
a. Use el método de Newton para encontrar los dos ceros negativos
de con cinco lugares decimales.
b. Grafique Use las
funciones Zoom y Trace de su calculadora graficadora para
estimar los ceros de f con cinco lugares decimales.
c. Grafique Use las
funciones Zoom y Trace con la escala apropiada para encontrar
los valores de x, con cinco lugares decimales, donde la
gráfica tiene tangentes horizontales.
15. Curvas que se intersecan La curva interseca la recta
entre y Use el método de Newton
para encontrar dónde.
16. Soluciones reales de una ecuación de cuarto grado Use el
método de Newton para encontrar las dos soluciones reales de la
ecuación
17. a. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación sen 3x = 0.99 - x ?
b. Use el método de Newton para encontrarlas.
2
x4 - 2x3 - x2 gsxd = 0.25x
y = tan x
y = 2x x = 0 x = p>2.
- 2x + 2 = 0.
4 - 1.5x2 ƒsxd = x
- x + 5.
3 ƒsxd = x
- 3x - 1 para -2 … x … 2.5.
3 ƒsxd = x
y0 = ƒsxd y1 = NDER ƒsxd.
x0 = -0.3 en x.
x - sy0>y1d
- 3x - 1
3 T
x = 1 + 0.5 sen x.
x = 1.5.
x0 = 1.5
x1.
+ 3x + 1.
T
T
T
T