Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

–1
1
0
–1
y
x cos 3 t
y sen 3 t
0 t 2
FIGURA 6.26 La astroide del ejemplo 2.
BIOGRAFÍA HISTÓRICA
Gregory St. Vincent
(1584–1667)
1
x
Por lo que
6.3 Longitudes de curvas planas 419
EJEMPLO 2 Aplicación de la fórmula paramétrica para calcular la longitud de una curva
Determinar la longitud de la astroide (figura 6.26)
Solución Como consecuencia de la simetría de la curva con respecto a los ejes de coordenadas,
su longitud es cuatro veces la longitud de la parte del primer cuadrante. Tenemos
Por lo tanto,
L =
L0
B adx
dt b
2
+ a dy
dt b
2
= 29 cos2 t sen2 tscos2 t + sen2 ('')''* td
1
Longitud de la parte del primer cuadrante =
L0
La longitud de la astroide es cuatro veces esto: 4s3>2d = 6.
Longitud de una curva y = ƒsxd
x = cos 3 t, y = sen 3 t, 0 … t … 2p.
a dx
dt b
2
= [3 cos2 ts -sen td] 2 = 9 cos4 t sen2 t
a dy
dt b
2
= [3 sen2 tscos td] 2 = 9 sen4 t cos2 t
Dada una función continuamente diferenciable y = ƒsxd, a … x … b, podemos asignar
x = t como un parámetro. Entonces, la gráfica de la función f es la curva definida paramétricamente
por
x = t y y = ƒstd, a … t … b,
un caso especial de lo que hemos considerado antes. Entonces,
dx
dt
2p
2r 2 dt = r CtD 2p
0
x = cos 3 t, y = sen 3 t
= 29 cos 2 t sen 2 t
= 3 ƒ cos t sen t ƒ
= 3 cos t sen t.
= 3
2
= 1 y dy
dt
p>2
L0
= 2pr.
p>2
=- 3
4 cos 2t d p>2
0
= ƒ¿std.
3 cos t sen t dt
sen 2t dt
= 3
2 .
cos t sen t Ú 0 para
0 … t … p>2
cos t sen t =
s1>2d sen 2t