Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

524 Capítulo 7: Funciones trascendentes
Springfield
179
61 12
San Luis
62
b
Avión
c a
Chicago
180
FIGURA 7.28 Diagrama para la
corrección del curso (ejemplo 6), con
distancias redondeadas a la milla más
próxima (el dibujo no está a escala).
–1
2
–
2
y
1
y sen –1x Dominio: –1 x 1
Rango: –/2 y /2
FIGURA 7.29 Gráfica de y = sen -1 x.
x
EJEMPLO 6 Corrección del curso
Durante un vuelo de Chicago a San Luis, el piloto determina que el avión se ha desviado
12 millas de su curso, como se muestra en la figura 7.28. Determine el ángulo a para un
curso paralelo al original, el curso correcto, el ángulo b y el ángulo de corrección c = a + b.
Solución
-1 12
a = sen
180
-1 12
b = sen
62
c = a + b L 15°.
Derivada de
Sabemos que la función x = sen y es diferenciable en el intervalo y que
su derivada, el coseno, es positivo en dicho intervalo. Por lo tanto, el teorema 1 de la sección
7.1 nos asegura que la función inversa y = sen –1 x es diferenciable en todo el intervalo
–1 6 x 6 1. No podemos esperar que sea diferenciable en x = 1 o x = –1, ya que en esos
puntos las tangentes a la gráfica son verticales (vea la figura 7.29).
Determinamos la derivada de y = sen –1 x aplicando el teorema 1 con f (x) = sen x y
ƒ -1sxd = sen-1 y = sen
-p>2 6 y 6 p>2
x.
-1 u
sƒ -1 d¿sxd =
=
=
=
Teorema 1
Otra deducción: En lugar de aplicar directamente el teorema 1, podemos determinar la
derivada de y = sen –1 x por medio de diferenciación implícita como sigue:
sen y = x
d
ssen yd = 1
dx
cos y dy
dx
1
ƒ¿sƒ -1 sxdd
1
cos ssen -1 xd
= 1
dy
dx =
=
1
21 - x 2
L 0.067 radianes L 3.8°
L 0.195 radianes L 11.2°
1
21 - sen 2 ssen -1 xd
1
cos y
1
21 - x 2
ƒ¿sud = cos u
cos u = 21 - sen 2 u
sen ssen -1 xd = x
y = sen -1 x 3 sen y = x
Derivar ambos lados respecto de x
Regla de la cadena
Podemos dividir, ya que cos y 7 0
para -p>2 6 y 6 p>2.
cos y = 21 - sen 2 y