Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

538 Capítulo 7: Funciones trascendentes
EJEMPLO 1 Determinación de derivadas e integrales
(a)
(b)
(c) Tabla 7.6
= 1
1
scosh 2x - 1d dx =
2L0 1
1
senh
L0
2x
csenh
2 2
1
- x d
0
2 1
cosh 2x - 1
x dx = dx
L0
2
(d)
d
dt Atanh 21 + t 2 B = sech 2 21 = t 2 # d
dt A 21 + t 2 B
L coth 5x dx = L
L0
ln 2
ln 2
= Ce 2x 4e
ln 2 2 ln 2 - 2xD 0 = se - 2 ln 2d - s1 - 0d
x senh x dx =
L0
4ex ex - e-x dx =
2 L0
s2e2x - 2d dx
= 4 - 2 ln 2 - 1
L 1.6137
Funciones hiperbólicas inversas
= senh 2
=
4
t
21 + t 2 sech2 21 + t 2
cosh 5x 1
dx =
senh 5x 5L du u
= 1
5 ln ƒ u ƒ + C = 1
5 ln ƒ senh 5x ƒ + C
- 1
2
L 0.40672
Las inversas de las seis funciones hiperbólicas básicas son muy útiles en integración.
Como dssenh xd>dx = cosh x 7 0, el seno hiperbólico es una función creciente de x. Denotamos
su inversa por
y = senh -1 x.
Para todo valor de x en el intervalo –q6x 6q, el valor de y = senh –1 x es el número cuyo
seno hiperbólico es x. Las gráficas de y = senh x y y = senh –1 x se muestran en la figura
7.32a.
La función y = cosh x no es inyectiva, como podemos ver al analizar la gráfica en la
figura 7.31b. Sin embargo, la función restringida y = cosh x, x Ú 0 es inyectiva y, por lo
tanto, tiene una inversa que se denota por
y = cosh -1 x.
Para todo valor de es el número en el intervalo cuyo coseno
hiperbólico es x. Las gráficas de y y = cosh se muestran en la
figura 7.32b.
Al igual que y = cosh x, la función y = sech x = 1>cosh x no es inyectiva, pero su
restricción a valores no negativos de x tiene una inversa, denotada por
-1 x Ú 1, y = cosh 0 … y 6 q
y = cosh x, x Ú 0
x
-1 x
y = sech -1 x.
Para cada valor de x en el intervalo (0, 1], y = sech –1 x es el número no negativo cuya secante
hiperbólica es x. Las gráficas de y y = sech se muestran en
la figura 7.32c.
-1 y = sech x, x Ú 0
x
ln 2
u = senh 5x,
du = 5 cosh 5x dx
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