Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

456 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas
6.7
FIGURA 6.64 Para soportar la presión
creciente, las cortinas de las presas se
construyen más gruesas conforme se
desciende a la base.
Densidad (específica)
La densidad de un fluido es su peso por
unidad de volumen. Algunos valores de
densidad comunes son (en lb/pie 3 )
Gasolina 42
Mercurio 849
Leche 64.5
Melaza 100
Aceite de oliva 57
Agua de mar 64
Agua 62.4
FIGURA 6.65 Estos contenedores están
llenos con agua a la misma profundidad, y
sus bases tienen la misma área. Por lo
tanto, la fuerza total es la misma en la base
de cada contenedor. Aquí no importa la
forma de los contenedores.
h
Presiones y fuerzas en fluidos
Las cortinas de las presas se construyen más gruesas en la base que en la parte superior
(figura 6.64), ya que la presión del agua contra ellas aumenta con la profundidad. La presión
sobre cualquier punto de la cortina depende de su profundidad y no en la inclinación
que pueda tener la cortina en ese punto. En un punto ubicado h pies por debajo de la superficie,
la presión —en libras por pie cuadrado— siempre es 62.4h. El número 62.4 es la
densidad específica del agua en libras por pie cúbico. La presión h pies por debajo de
la superficie de cualquier fluido es la densidad específica por h.
Ecuación de presión-profundidad
En un fluido que está en reposo, la presión p a una profundidad h es la densidad
del fluido w por h:
p = wh.
En esta sección usaremos la ecuación p = wh para deducir una fórmula que nos permita
determinar la fuerza total ejercida por un fluido contra una pared horizontal o vertical, o
parte de ella.
Fórmula para la fuerza de un fluido con profundidad constante
En un depósito de fluidos con base plana horizontal, la fuerza total ejercida por el fluido
contra la base puede calcularse multiplicando el área de la base por la presión en la base.
Esto es posible debido a que la fuerza total es igual a la fuerza por unidad de área (presión)
por el área. (Vea la figura 6.65.) Si F, p y A son la fuerza total, la presión y el área, respectivamente,
entonces
F = fuerza total = fuerza por unidad de área * área
= presión * área = pA
= whA.
Fuerza de un fluido sobre una superficie de profundidad constante
F = pA = whA
(1)
p = wh según
la ecuación (1).
Por ejemplo, la densidad del agua es 62.4 lb pie 3 > , por lo que la fuerza del fluido en la parte
inferior de una alberca rectangular de 10 20 pies y 3 pies de profundidad es
F = whA = s62.4 lb>pie 3 ds3 piesds10 # 20 pies 2 d
= 37,440 lb.
En el caso de una placa plana sumergida horizontalmente, como el fondo de la alberca
que se acaba de analizar, la fuerza hacia abajo que actúa sobre la cara superior de la placa,
debida a la presión del líquido, está dada por la ecuación (2). Sin embargo, si la placa se
sumerge verticalmente, la presión contra ella será distinta a diferentes profundidades, así
que ya no es posible utilizar la ecuación (2) (ya que h varía). Si dividimos la placa en muchas
bandas o franjas horizontales angostas, podemos crear una suma de Riemann cuyo límite
es la fuerza del fluido contra el lado de la placa vertical sumergida. A continuación se
explica el procedimiento.
(2)