Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

tenemos cuatro posibles opciones:
1. Hacer u = 1 y dy = x cos x dx. 2. Hacer u = x y dy = cos x dx.
3. Hacer u = x cos x y dy = dx. 4. Hacer u = cos x y dy = x dx.
Examinemos cada una de ellas.
La opción 1 no es conveniente, porque desconocemos cómo integrar dv = x cos x dx
para obtener y.
La opción 2 funciona bien, como vimos en el ejemplo 1.
La opción 3 nos lleva a
y a la nueva integral
Ésta integral es peor que la integral con la que iniciamos.
La opción 4 nos lleva a
por lo que la nueva integral es
que también es una peor integral.
El objetivo de la integración por partes es pasar de una integral 1 u dy,
que no sabemos
cómo evaluar, a una integral 1 y du,
que sí podamos evaluar. Por lo general, elija primero
que dv sea tan semejante como sea posible al integrando, incluyendo a dx, de manera
que la integración sea más sencilla; u es la parte restante. Tenga en cuenta que la
integración por partes no siempre funciona.
EJEMPLO 3 Integral del logaritmo natural
Determine
Solución Como puede escribirse como utilizamos la fórmula
1 con
u dy = uy - 1
1 y du
ln x # 1 ln x dx
1 dx,
u = ln x
du = 1 x dx,
Entonces
u = x cos x, dy = dx,
du = scos x - x sen xd dx, y = x,
L y du = L sx cos x - x2 sen xd dx.
u = cos x, dy = x dx,
du = -sen x dx, y = x 2 >2,
L y du = - L x2
sen x dx.
2
ln x dx.
L
Se simplifica cuando se deriva dy = dx Fácil de integrar
y = x.
A veces, tenemos que utilizar la integración por partes más de una vez.
8.2 Integración por partes 563
La antiderivada más sencilla
L ln x dx = x ln x - L x # 1 x dx = x ln x - dx = x ln x - x + C.
L