Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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186 Capítulo 3: Derivadas s 0 5 5 Posición en reposo Posición en t 0 FIGURA 3.24 Un cuerpo que cuelga del extremo de un resorte y después se desplaza, oscila hacia arriba y hacia abajo de la posición de reposo. Su movimiento está descrito por funciones trigonométricas (ejemplo 3). s, y 0 y 5 sen t s 5 cos t 2 3 2 2 5 2 FIGURA 3.25 Las gráficas de la posición y la velocidad del cuerpo del ejemplo 3. t Movimiento armónico simple El movimiento que describe un objeto bamboleándose libremente hacia arriba y hacia abajo, en el extremo de un resorte o una cuerda elástica, es un ejemplo de movimiento armónico simple. El ejemplo siguiente describe un caso en donde no hay fuerzas opuestas como la fricción o la flotación que desaceleren el movimiento. EJEMPLO 3 Movimiento en un resorte Un objeto que cuelga de un resorte (figura 3.24) se estira 5 unidades desde su posición de reposo y se suelta en el tiempo t = 0 para que se mueva hacia arriba y hacia abajo. Su posición en cualquier tiempo t posterior es ¿Cuáles son su velocidad y su aceleración en el tiempo t? Solución Tenemos que Posición: Velocidad: Aceleración: a = Observe todo lo que podemos aprender de estas ecuaciones: dy y = d = s -5 sen td = -5 cos t. dt dt ds s = 5 cos t d = s5 cos td = -5 sen t dt dt 1. Conforme pasa el tiempo, el cuerpo se mueve hacia abajo y hacia arriba entre s = –5 y s = 5 en el eje s. La amplitud del movimiento es 5. El periodo del movimiento es 2p. 2. La velocidad y =-5 sen t alcanza su mayor magnitud, 5, cuando cos t = 0, como muestran las gráficas de la figura 3.25. Ahora bien, la rapidez del cuerpo, ƒ y ƒ = 5 ƒ sen t ƒ , es mayor cuando cos t = 0, esto es, cuando s = 0 (la posición de reposo). La rapidez del cuerpo es cero cuando sen t = 0. Esto ocurre cuando s = 5 cos t = ;5, en los extremos del intervalo del movimiento. 3. El valor de la aceleración siempre es exactamente el opuesto del valor de posición. Cuando el cuerpo está arriba de la posición de reposo, la gravedad lo tira hacia abajo. Cuando el cuerpo está debajo de la posición de reposo, el resorte lo jala hacia arriba. 4. La aceleración, a = –5 cos t, es cero solamente en la posición de reposo, donde cos t = 0 y la fuerza de la gravedad y la fuerza del resorte se compensan entre ellas. Cuando el cuerpo está en cualquier otro lado, las dos fuerzas son desiguales y la aceleración no es cero. La aceleración alcanza su máxima magnitud en los puntos más alejados de la posición de reposo, donde cos t = ;1. EJEMPLO 4 Sacudida En el caso del movimiento armónico simple del ejemplo 3, la sacudida es La sacudida alcanza su magnitud más grande cuando sen t = ;1, no en los extremos del desplazamiento, sino en la posición de reposo, donde la aceleración cambia de dirección y de signo. Derivadas de las demás funciones trigonométricas básicas Como sen x y cos x son funciones diferenciables de x, las funciones relacionadas tan x = j = da dt s = 5 cos t. d = s -5 cos td = 5 sen t. dt sen x cos x cos x , cot x = sen x , sec x = 1 cos x y csc x = 1 sen x
3.4 Derivadas de funciones trigonométricas 187 son diferenciables en todo valor de x en el que estén definidas. Sus derivadas, calculadas a partir de la regla del cociente, están dadas por las fórmulas siguientes. Observe el signo negativo en las fórmulas de las cofunciones. Derivadas de las demás funciones trigonométricas d dx stan xd = sec2 x d ssec xd = sec x tan x dx d dx scot xd = -csc2 x d scsc xd = -csc x cot x dx Para mostrar los cálculos típicos, obtendremos la derivada de la función tangente. Las demás derivadas se dejan para el ejercicio 50. EJEMPLO 5 Encontrar d(tan x) > dx. Solución EJEMPLO 6 Encontrar y– si y = sec x. Solución d d Atan xB = dx dx = cos x cos x - sen x s -sen xd = x asen cos x b = = cos2 x + sen 2 x cos 2 x 1 cos 2 x = sec2 x y = sec x cos 2 x y¿ =sec x tan x y– = d ssec x tan xd dx cos x d d Asen xB - sen x dx dx cos2 x = sec x d d Atan xB + tan x Asec xB dx dx = sec3 x + sec x tan2 = sec xssec x 2 xd + tan xssec x tan xd Acos xB Regla del cociente Regla del producto
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THOMAS CÁLCULO UNA VARIABLE UNDÉC
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CÁLCULO UNA VARIABLE U N D É C I
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CONTENIDO Prefacio ix Volumen I 1 P
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PREGUNTAS DE REPASO 461 EJERCICIOS
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13 Funciones con valores vectoriale
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PREFACIO INTRODUCCIÓN Al preparar
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FIGURA 6.11, página 402 Determinac
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Agradecimientos COURSECOMPASS Cours
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Agradecemos a todos los profesores
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1.1 Capítulo 1 PRELIMINARES INTROD
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Las expansiones decimales finitas r
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1 2 (a) 1 2 (b) FIGURA 1.4 Los conj
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1.2 Eje y positivo Eje x negativo E
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y L 2 Pendiente m1 1 C 1 h L 1 Pend
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ƒsxd = x + 1 Modelos matemáticos
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En los ejercicios 19-28 se establec
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2 Grados Radianes 45 45 90 1 30 1 2
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SE sen pos. TA tan pos. y TO todos
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Periodos de las funciones trigonom
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Transformaciones de las gráficas t
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1.7 Graficación con calculadoras y
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-12 podría producir un segmento de
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Biomasa 250 200 150 100 50 y 0 1 2
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Capítulo 1 Ejercicios adicionales
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Desde el punto de vista geométrico
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x 0 (a) Función identidad k 0 y y
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Es fácil convencernos de que las p
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k k k y 0 x0 x0 x0 y k FIG
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¿A qué se debe que sea correcto s
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2 y y 4 x 2 0 2 FIGURA 2.23 lím
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1 O y u 1 cos u Q ⎧ ⎪ ⎪ ⎪
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2 1 y 5 0 5 10 1 2 y 5x2 8x 3 3x
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2.5 B y Límites infinitos y asínt
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B 0 y x 0 y f(x) x 0 d x 0 d FIG
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Asíntota vertical x 2 4 3 2 y 8 7
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2.5 Límites infinitos y asíntotas
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Creación de gráficas a partir de
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2 y y 4 x 2 2 0 2 FIGURA 2.52 Una
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0 y y 1 x FIGURA 2.56 La función
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0.4 0.3 0.2 0.1 2p p p 0 y 2p FIGUR
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3 2 1 0 y 1 2 3 4 FIGURA 2.61 La fu
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. Encuentre los valores para b y c
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26. Regla de Leibniz para derivadas
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Mínimo absoluto No hay un valor me
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. Use el teorema de Rolle para prob
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y c(x) x 3 6x 2 15x r(x) 9x 0 2
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38. Dos masas cuelgan de igual núm
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Precaución Para aplicar la regla d
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5.5 Las integrales indefinidas y la
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Capítulo 5 Proyectos de aplicació
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Cómo determinar el centro de masa
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1 8 0 - 1 8 y y x 3 NO ESTÁ A ESC
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d y c 0 y L(y) FIGURA 6.54 La regi
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Determinación de áreas de superfi
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c. Demuestre que el área de la sup
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389 pies Cuarto de circunferencia d
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9. Ascensión del cable de un eleva
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28. Golf Una pelota de golf de 1.6
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y a y Superficie del fluido Placa v
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27. Determine el centroide de una p
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0 12. En los puntos de la circunfer
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7.1 Funciones inversas y sus deriva
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El proceso de pasar de f a f -1 pue
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y y f(x) b f(a) (a, b) 0 a x 7.1
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EJERCICIOS 7.1 Identificación grá
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Teoría y aplicaciones 45. Si f(x)
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TABLA 7.1 Valores comunes de ln x,
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA John Napier (
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1 y 1 2 0 y 1 x 1 2 FIGURA 7.10 El
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EJEMPLO 5 L0 p>6 tan 2x dx = L0 Dif
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Diferenciación logarítmica En los
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Números trascendentes y funciones
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7.3 La función exponencial 489 El
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Utilizamos la condición inicial y(
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EJERCICIOS 7.3 7.3 La función expo
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. Demuestre, haciendo referencia a
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y 2 1 0 1 2 y 2 x y x y log 2x F
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Casi todos los alimentos son ácido
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1 49. 50. 5 L -u 2 du L0 -u du 22 5
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7.5 Crecimiento y decaimiento expon
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Para el gas radón 222, t se mide e
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7.5 Crecimiento y decaimiento expon
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a. Si t representa el tiempo, en a
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22. Una viga a temperatura desconoc
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(c) x 2 crece más rápido que ln x
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EJERCICIOS 7.6 1. ¿Cuáles de las
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Algoritmos y búsquedas 23. a. Supo
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7.7 Funciones trigonométricas inve
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x 23>2 22>2 12 > -1>2 - 22>2 - 23>2
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x 23 1 23>3 - 23>3 -1 - 23 3 5 2 t
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7.7 Funciones trigonométricas inve
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EJEMPLO 9 Uso de la fórmula d dx s
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(b) (c) EJEMPLO 12 Uso de la sustit
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Valores de funciones trigonométric
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126. La región que está entre la
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7.8 Funciones hiperbólicas 7.8 Fun
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7.8 Funciones hiperbólicas 537 Las
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TABLA 7.9 Identidades para las func
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7.8 Funciones hiperbólicas 541 Sol
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11. Utilice las identidades senh sx
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1 a y 0 b s 81. Volumen Una región
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5. ¿Qué es la función logaritmo
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99. ¿Verdadero o falso? Justifique
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17. Utilice la figura siguiente par
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8.1 Capítulo 8 TÉCNICAS DE INTEGR
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Solución EJEMPLO 2 Completar el cu
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA George David
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dx dx 7. 8. L 1x s 1x + 1d L x - 1x
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8.2 Integración por partes Como y
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tenemos cuatro posibles opciones: 1
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1 0.5 -1 0 -0.5 -1 y y xe -x 1 2 3
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Los ejercicios adicionales, al fina
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Sustitución e integración por par
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8.3 Integración de funciones racio
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Hay varias formas de resolver el si
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Sustituimos estos valores en la ecu
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EJEMPLO 7 Integración con el méto
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EJERCICIOS 8.3 8.3 Integración de
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c. Grafique la función y = para 0
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Para el término que incluye a cos
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EJERCICIOS 8.4 y Productos de senos
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x tan a -1 -1 -1 2 - 2 2 - 2
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5x 25x 2 4 2 FIGURA 8.6 Si entonc
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EJERCICIOS 8.5 Sustituciones trigon
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8.6 8.6 Tablas de integrales y sist
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Solución Utilizamos la fórmula 99
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Con n = 3 y a = 1, tenemos El resul
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También se puede hallar la integra
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Sustitución y tablas de integrales
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111. a. Utilice un software matemá
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y y x 2 1 0 1 25 16 5 4 36 16 6 4
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2 1 y y x sen x 0 1 2 FIGURA 8.12
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Thomas Simpso
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gular no podemos determinar el valo
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146 pies 122 pies 76 pies 54 pies 4
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28. Abastecimiento de un estanque d
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Utilice las funciones Trace o Zoom
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Área de una superficie Determine,
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Lejeune Diric
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1 0 y a y 1 x Área 2 2a 1 FIGUR
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Solución L2 q x + 3 sx - 1dsx 2 dx
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1 y y e -x2 (1, e -1 ) 0 1 b y e
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1 0 y y 1 1 x 2 1 y 1 x 2 FIGURA
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EJERCICIOS 8.8 Evaluación de integ
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T a. Dibuje la gráfica de f. Deter
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43. 44. L sen3 u cos2 u sen3 du u d
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Integrales impropias Evalúe las in
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T 24. Determinación de un volumen
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o ≠sxd L a x e b x 2p A x e 1>s12
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9.1 Campos de pendientes y ecuacion
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9.1 Campos de pendientes y ecuacion
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FIGURA 9.4 La razón a la que sale
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-4 -4 -4 19. y¿ =x + y 20. y¿ =y
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9.2 Ecuaciones diferenciales lineal
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9.2 Ecuaciones diferenciales lineal
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i I V R I e 0 L R L 2 R i (1 eRt
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EJERCICIOS 9.2 Ecuaciones lineales
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31. Constantes de tiempo Al número
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Después se calculan las aproximaci
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Carl Runge (1
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Exploración gráfica de ecuaciones
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2 y 1 2 0 -1 y' 0 y'' 0 y' 0 y''
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F r ky m F p mg y positiva y 0 F
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EJERCICIOS 9.4 Líneas de fase y cu
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9.5 9.5 Aplicaciones de ecuaciones
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6000 5000 P Población mundial (198
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M 100 50 0 P FIGURA 9.25 Un campo
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Trayectoria ortogonal FIGURA 9.28 U
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TABLA 9.8 Datos del patinaje de Kel
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T 34. Euler: En los ejercicios 35 y
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RESPUESTAS CAPÍTULO 1 Sección 1.1
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7. (a) No es una función de x, ya
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9. (a) ƒ(g(x)) (b) j(g(x)) (c) g(g
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7. cos x = -4>5, tan x = -3>4 9. 11
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37. 39. 41. (a) (b) m = 1059.14; é
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11. (a) ƒsxd = sx 2 - 9d>sx + 3d x
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35. 37. 4 y = x = x + 1 - 2 - 4 3 x
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Ejercicios adicionales y avanzados,
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(c) El cuerpo cambia de dirección
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55. (a) y = 2px - 2p, (b) 57. Punto
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121. 123. dS = prh0 2r 125. (a) 4%
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La función ƒsxd = x tiene un punt
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17. y 19. 21. y 23. Máx loc (0, 0)
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91. (b) de manera positiva si k 6 0
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87. y = 2x 89. 3>2 - 50 91. 93. (a)
Page 733 and 734:
7. Todas ellas 9. b 11. 13. a k = 1
Page 735 and 736:
Ejercicios prácticos, páginas 388
Page 737 and 738:
Ejercicios de práctica, páginas 4
Page 739 and 740:
13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29.
Page 741 and 742:
Capítulo 8: Respuestas R-39 ƒ ƒ
Page 743 and 744:
Capítulo 8: Respuestas R-41 17. 19
Page 745 and 746:
71. 1 2 Az2z2 + 1 + ln ƒ z + 2z 2
Page 747 and 748:
3. 5. (b) (c) y¿ =y 3 - y = s y +
Page 749:
Ejercicios prácticos, páginas 682
Page 752 and 753:
I-2 Índice Calculadoras, graficaci
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I-4 Índice Desplazamiento, 172, 17
Page 756 and 757:
I-6 Índice implícitamente, 205-20
Page 758 and 759:
I-8 Índice Leyes de los exponentes
Page 760 and 761:
I-10 Índice Problema de primer ord
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I-12 Índice en integrales múltipl
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Fórmulas para Grad, Div, Espiral y
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Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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