Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

616 Capítulo 8: Técnicas de integración
Utilice la regla del trapecio para estimar la cantidad de petróleo
consumido por el generador durante una semana.
Teoría y ejemplos
Razón de consumo de
Día petróleo (litros> h)
Dom 0.019
Lun 0.020
Mar 0.021
Mié 0.023
Jue 0.025
Vie 0.028
Sáb 0.031
Dom 0.035
33. Valores utilizables de la función integral del seno La función
integral del seno,
es una de las muchas funciones en ingeniería cuyas fórmulas no
pueden simplificarse. No existe una fórmula elemental para la antiderivada
de (sen t) > t. Sin embargo, los valores de Se(x) se estiman
con facilidad por medio de integración numérica.
Aunque la notación no lo muestra de manera explícita, la
función que debe integrase es
la extensión continua de (sen t) > t al intervalo [0, x]. La función
tiene derivadas de todos los órdenes en todo punto de su dominio.
Su gráfica es suave, y podemos esperar buenos resultados de la
regla de Simpson.
sen t
y
t
sen t
Sesxd =
L
t
dt,
0
ƒstd = •
1
y
0 x
2
a. Utilice el hecho de que ƒ ƒ en [0, p>2] para dar una
cota superior del error que ocurre si
s4d ƒ … 1
Se a p
2 b = L0
sen t
t
, t Z 0
1, t = 0,
x
sen t
Se (x)
t
dt
L0
se estima por medio de la regla de Simpson con n = 4.
x
p>2
sen t
t
dt
“Integral del seno de x”
b. Estime Sesp>2d por medio de la regla de Simpson con n = 4.
t
c. Exprese la cota del error que encontró en el inciso (a), como
un porcentaje del valor que encontró en el inciso (b).
34. La función error La función error,
es importante en probabilidad y en las teorías de flujo de calor y
transmisión de señales, y debe evaluarse numéricamente, ya que
2
-t no existe expresión elemental para la antiderivada de e .
a. Utilice la regla de Simpson con n = 10 para estimar erf(1).
b. En [0, 1],
Proporcione una cota superior para la magnitud del error de la
estimación en el inciso (a).
35. (Continuación del ejemplo 3). Las cotas de error para ET y ES son
estimaciones para “el peor caso”, y las reglas del trapecio y de
Simpson con frecuencia son más precisas de lo que las cotas sugieren.
La aproximación con la regla del trapecio para
T
L0
p
x sen x dx
erf sxd = 2
2p
4
d 2
-t
ae 4
`
dt
del ejemplo 3 es una
muestra de esto.
a. Utilice la regla del trapecio
con n = 10 para
aproximar el valor de
la integral. La tabla a
la derecha proporciona
los valores necesarios
de y.
b ` … 12.
b. Determine la magnitud de la diferencia entre p, el valor de la
integral, y su aproximación en el inciso (a). Encontrará que
la diferencia es considerablemente menor que la cota superior
de 0.133, calculado con n = 10 en el ejemplo 3.
c. La cota superior de 0.133 para ƒ ET ƒ en el ejemplo 3 podría
haberse mejorado un poco obteniendo una mejor cota para
ƒ ƒ–sxd ƒ = ƒ 2 cos x - x sen x ƒ
en [0, p]. La cota superior que usamos fue 2 + p. Grafique
ƒ– en [0, p] y utilice las funciones Trace o Zoom de su calculadora
grafica para mejorar esta cota superior.
Utilice la cota superior mejorada como M para obtener
una mejor estimación de ƒ ET ƒ . Observe que la aproximación
con la regla del trapecio del inciso (a) también es mejor que
lo que sugiere esta nueva estimación.
T
36. (Continuación del ejercicio 35).
a. Demuestre que la cuarta derivada de f (x) = x sen x es
L0
ƒ s4d sxd = -4 cos x + x sen x.
x
2
-t
e dt,
x x sen x
0 0
s0.1dp 0.09708
s0.2dp 0.36932
s0.3dp 0.76248
s0.4dp 1.19513
s0.5dp 1.57080
s0.6dp 1.79270
s0.7dp 1.77912
s0.8dp 1.47727
s0.9dp 0.87372
p 0