Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Pendiente 0
A
A'
10
5
B
4 unidades x
0 5 10 15
(a)
4
3
2
1
–1
–2
y
Pendiente
Pendiente –1
Pendiente –
4
3
C
Santorini, en el Mar Egeo, al sureste de Grecia. Durante las 6 horas de pruebas de resistencia
previas al vuelo, los investigadores vigilaron la concentración de azúcar en la sangre de los
posibles pilotos. En la figura 3.4a se muestra la gráfica para uno de los pilotos; en ella, la
concentración de azúcar, en miligramosNdecilitro, se ha trazado contra el tiempo, en horas.
La gráfica se compone de segmentos de recta que unen los puntos de los datos. La
pendiente constante de cada segmento da una estimación de la derivada de la concentración
entre las mediciones. Calculamos la pendiente de cada segmento a partir de la cuadrícula
de coordenadas y trazamos la derivada como una función escalonada en la figura 3.4b. Al
trazar los datos de la primera hora, por ejemplo, observamos que la concentración crece de
aproximadamente 79 mgNdL a 93 mgNdL. El crecimiento neto fue ¢y = 93 - 79 =
14 mg>dL. Dividiendo esto entre ¢t = 1 hora obtenemos la razón de cambio como
¢y
¢t
D
Pendiente 0
= 14
1
y f(x)
E
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
y f '(x)
E'
D'
5
C'
10 15
B'
Coordenada vertical –1
(b)
3.1 La derivada como una función 151
= 14 mg>dL por hora.
Observe que no podemos estimar la razón de cambio de la concentración en los tiempos
t = 1, 2, ..., 5, en los que la gráfica de concentración que trazamos alcanza una esquina
y no tiene pendiente. La derivada escalonada no está definida para esos tiempos.
⎧ ⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
Pendiente
8
2 unidades
4
y/unidad x
8 unidades y
FIGURA 3.3 Hacemos la gráfica de y = ƒ¿sxd
en (b) trazando las pendientes a partir
de la gráfica de y = f(x) en (a). La coordenada vertical de B¿ es la pendiente de B, y
así sucesivamente. La gráfica de ƒ¿ es un registro visual de cómo cambia la pendiente
de f con x.
x
x