Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

516 Capítulo 7: Funciones trascendentes
Comparaciones con el logaritmo ln x
5. ¿Cuáles de las siguientes funciones crecen más rápidamente que
ln x cuando x : q? ¿Cuáles crecen a la misma razón que ln x?
¿Cuáles crecen más lentamente?
a. b. ln 2x
c. d.
e. x f. 5 ln x
g. 1 x h. ex log3 x
ln 1x
1x
>
6. ¿Cuáles de las siguientes funciones crecen más rápidamente que
ln x cuando x : q? ¿Cuáles crecen a la misma razón que ln x?
¿Cuáles crecen más lentamente?
a. b.
c. d.
e. f. e
g. ln (ln x) h. ln s2x + 5d
-x
1>x
x - 2 ln x
2
log2 sx log10 10x
1> 1x
2 d
Ordenamiento de funciones según la razón
de crecimiento
7. Ordene las siguientes funciones con respecto a su crecimiento (de
la más lenta a la más rápida) cuando x : q.
a. b.
c. d. e x>2
sln xd x
xx ex 8. Ordene las siguientes funciones con respecto a su crecimiento (de
la más lenta a la más rápida) cuando x : q.
a. b.
c. sln 2d d.
x
2 x
O grande y o pequeña; orden
9. ¿Cierto o falso? Cuando x : q,
a. b.
c. d.
e. f.
g. h. 2x 2 e x + ln x = Osxd
ln x = osln 2xd
+ 5 = Osxd
x = ose 2x x = osxd
x = osx + 5d
x = Osx + 5d
x = Os2xd
d
10. ¿Cierto o falso? Cuando x : q,
a. b.
c. d.
e. f.
g. h. ln sxd = osln sx
11. Demuestre que si las funciones positivas f(x) y g(x) crecen a la
misma razón a medida que x : q entonces f = Osgd y g = Osƒd.
12. ¿En qué caso el polinomio f (x) es de orden menor que el polinomio
g(x) a medida que x : q? Justifique su respuesta.
13. ¿En qué caso el polinomio f(x) es, a lo más, del mismo orden que
el polinomio g(x) a medida que x : q. Justifique su respuesta.
2 x ln x = osx
ln sln xd = Osln xd
+ 1dd
2 e d
x + x = Ose x 1
x - 2 + cos x = Os2d
d
1
x2 = o a1x b
1
x + 1
x2 = O a1x b
1
x + 3 = O a1x b
ex x 2
T
14. ¿Qué revelan nuestras conclusiones de la sección 2.4 respecto de
los límites de funciones racionales, acerca del crecimiento relativo
de polinomios cuando x : q?
Otras comparaciones
15. Investigue
ln sx + 1d
lím
y lím
x: q ln x x: q
Después utilice la regla de l´Hôpital para explicar sus hallazgos.
16. (Continuación del ejercicio 15). Demuestre que el valor de
ln sx + ad
lím
x: q ln x
ln sx + 999d
.
ln x
es el mismo, sin importar el valor que se asigne a la constante a.
¿Qué dice esto acerca de las razones relativas a las que crecen las
funciones f (x) = ln(x + a) y g(x) = ln x?
17. Demuestre que 210x + 1 y 2x + 1 crecen a la misma razón
conforme x : q, comprobando que ambas crecen a la misma razón
que 1x cuando x : q.
18. Demuestre que crecen a la misma razón a
medida que x : q, comprobando que ambas crecen a la misma
razón que x 2 2x
cuando x : q.
4 + x y 2x4 - x3 19. Demuestre que e x crece más rápidamente, cuando x : q, que x n
para cualquier entero positivo n, incluso x 1,000,000 . (Sugerencia:
¿Cuál es la n–ésima derivada de x n ?)
20. La función e x sobrepasa a cualquier polinomio Muestre que
e x crece más rápidamente, cuando x : q, que cualquier polinomio
an xn + an - 1 x n - 1 + Á + a1 x + a0.
21. a. Demuestre que ln x crece más lentamente, cuando x : q, que
x 1/n para cualquier entero positivo n, incluso x 1/1,000,000 .
b. Aun cuando los valores de x 1/1,000,000 sobrepasan finalmente a
los de ln x, hay que avanzar mucho en el eje x antes de que
eso ocurra. Determine un valor de x, mayor que 1, para el que
x 1/1 000 000 7 ln x. Observe que cuando x 7 1, la ecuación
es equivalente a
c. Incluso x 1/10 tarda mucho en sobrepasar ln x. Experimente con
la calculadora para hallar el valor de x donde las gráficas de
x 1/10 ln x = x ln sln xd = sln xd>1,000,000.
y ln x se cruzan, es decir, donde ln x = 10 ln (ln x).
Localice el punto de intersección entre potencias de 10 y
aproxime el punto mediante particiones sucesivas en mitades.
d. (Continuación del inciso (c)). El valor de x donde ln x = 10
ln(ln x) es demasiado lejano para que lo identifiquen algunas
calculadoras graficadoras y programas de cómputo para calcular
raíces. Inténtelo con el equipo disponible y observe los
resultados.
22. La función ln x crece más lentamente que cualquier polinomio.
Demuestre que ln x crece más lentamente, cuando x : q,
que cualquier polinomio no constante.
1>1,000,000
T
T
T