Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

1
0
y
⎛x
y
⎝2
2/3
, 0 x 2
⎛ ⎝
1
(2, 1)
FIGURA 6.27 La gráfica de
desde x = 0 hasta x = 2, también es la
gráfica de x = 2y desde y = 0 hasta
y = 1 (ejemplo 4).
3>2
y = sx>2d 2>3
2
x
Trabajo con discontinuidades en dy/dx
6.3 Longitudes de curvas planas 421
En un punto de la curva en donde dy> dx no exista, dx> dy puede existir y es posible determinar
la longitud de la curva expresando x como función de y y aplicando la ecuación siguiente,
que es análoga a la ecuación (2):
Fórmula para determinar la longitud de x = gsyd, c … y … d
Si g es continuamente diferenciable en [c, d], la longitud de la curva x = gs yd de
y = c a y = d es
L =
Lc
d
1 + a
B dx
dy b
2
dy =
Lc
d
21 + [g¿s yd] 2 dy.
EJEMPLO 4 Longitud de una gráfica con discontinuidad en dy/dx
Determinar la longitud de la curva y = sx>2d de x = 0 a x = 2.
2>3
Solución La derivada
dy
dx
no está definida en x = 0, por lo que no podemos determinar la longitud de la curva por
medio de la ecuación (2).
Por lo tanto, reescribimos la ecuación para expresar x en términos de y:
Despejar x.
Con base en lo anterior, vemos que la curva cuya longitud queremos determinar es también
la gráfica de x = 2y de y = 0 a y = 1 (figura 6.27).
La derivada
3>2
es continua en [0, 1]. Por consiguiente, podemos utilizar la ecuación (3) para determinar la
longitud de la curva:
L =
Lc
d
2
=
3 ax
2 b
-1>3
y = a x
2 b
2>3
y 3>2 = x
2
x = 2y 3>2 .
dx
dy
1 + a
B dx
dy b
2
= 1 # 2
9 3 s1 + 9yd3>2 1
d
0
a 1 1
b =
2 3 a2x b
1>3
= 2 a3
2 b y 1>2 = 3y 1>2
dy =
L0
= 2
A10210 - 1B L 2.27.
27
Elevar ambos
lados a la 3/2.
1
21 + 9y dy
(3)
Ecuación (3) con
c = 0, d = 1.
Haga u = 1 + 9y,
du>9 = dy,
integre y sustituya.