Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

BIOGRAFÍA HISTÓRICA
Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)
642
9.1
BIOGRAFÍA HISTÓRICA
Jules Henri Poincaré
(1854-1912)
Capítulo
9
APLICACIONES ADICIONALES
DE INTEGRACIÓN
INTRODUCCIÓN En la sección 4.8 hablamos de las ecuaciones diferenciales de la forma
dy>dx = ƒsxd, donde y es una función desconocida que se está derivando. Para una
función continua f, encontramos la solución general y(x) por medio de integración:
ysxd = 1ƒsxd dx. (Recuerde que la integral indefinida representa a todas las antiderivadas
de f, por lo que contiene una constante arbitraria C que debe sumarse una vez que se
determina una antiderivada). Muchas aplicaciones en la ciencia, la ingeniería y la economía
incluyen un modelo formulado por ecuaciones diferenciales aún más generales. Por
ejemplo, en la sección 7.5, encontramos que el crecimiento y el decrecimiento exponencial se
modelan por medio de una ecuación diferencial de la forma dy>dx = ky, para alguna constante
k Z 0. Todavía no hemos considerado ecuaciones diferenciales como dy>dx = y - x,
aunque tales ecuaciones aparecen con frecuencia en aplicaciones. En este capítulo analizaremos
varias ecuaciones diferenciales que tienen la forma dy>dx = ƒsx, yd, en donde f es
una función tanto de la variable dependiente como de la variable independiente. Utilizaremos
la teoría de integración indefinida para resolver estas ecuaciones diferenciales, e investigaremos
métodos de solución analíticos, gráficos y numéricos.
Campos de pendientes y ecuaciones diferenciables separables
Al calcular las derivadas por derivación implícita (sección 3.6), encontramos que la expresión
para la derivada dy> dx con frecuencia contiene ambas variables, x y y, y no sólo a la
variable independiente x. Iniciaremos esta sección considerando la ecuación diferencial
general dy>dx = ƒsx, yd y lo que se entenderá por una solución para ella. Después examinaremos
ecuaciones que tienen una forma especial para la cual la función f puede expresarse
como un producto de una función de x y una función de y.
Ecuación diferencial general de primer orden y su solución
Una ecuación diferencial de primer orden es una ecuación
dy
dx
= ƒsx, yd
en la que f (x, y) es una función de dos variables definida en una región del plano xy. La
ecuación es de primer orden, ya que sólo incluye la primera derivada dy> dx (y no a derivadas
de orden superior). Observe que las ecuaciones
y¿ =ƒsx, yd y d
y = ƒsx, yd,
dx
son equivalentes a la ecuación (1); emplearemos las tres indistintamente en el texto.
(1)