Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

350 Capítulo 5: Integración
b
0
y
y x
FIGURA 5.12 La región del
ejemplo 4 es un triángulo.
b
b
x
Por primera vez tenemos una definición rigurosa para el área de una región cuya frontera
es la gráfica de cualquier función continua. A continuación aplicaremos esto a un
ejemplo sencillo, el área debajo de una recta, donde podemos verificar que nuestra nueva
definición coincide con nuestra noción previa de área.
EJEMPLO 4 Área debajo de la recta y = x
b
Calcular x dx y encontrar el área A debajo de y = x en el intervalo [0, b], b 7 0.
L0
Solución La región de interés es un triángulo (figura 5.12). Calculamos el área de dos
maneras.
(a) Para calcular la integral definida como el límite de sumas de Riemann, calculamos
para particiones cuyas normas tiendan a cero. El teorema 1
nos dice que no importa cómo elijamos las particiones o los puntos siempre y cuando
las normas tiendan a cero. Todas las opciones dan exactamente el mismo límite. De
manera que consideramos la partición P que subdivide el intervalo [0, b] en n subintervalos
del mismo ancho y elegimos como el extremo derecho
de cada subintervalo. La partición es y ck =
En consecuencia,
kb n .
P = e 0, b n , 2b n , 3b n , Á , nb
n f
límƒƒPƒƒ:0 g
ck
¢x = sb - 0d>n = b>n, ck
n k = 1ƒsckd ¢xk
n
a
k = 1
n
ƒsckd ¢x = a
Regla del múltiplo constante
Suma de los primeros n enteros
Cuando y esta última expresión de la derecha tiene como límite b
Por lo tanto,
2 n : q 7P7 : 0,
>2.
(b) Como el área, en el caso de una función no negativa, es igual a la integral definida, podemos
obtener rápidamente la integral definida usando la fórmula para el área de un
triángulo que tiene como base b y altura El área es
Nuevamente tenemos que 1
El ejemplo 4 se puede generalizar para integrar ƒsxd = x en cualquier intervalo cerrado
[a, b], 0 6 a 6 b.
b
0 x dx = b 2 A = s1>2d b # 2 y = b.
b = b >2.
>2.
b
= a
= b 2
= b 2
= b 2
k = 1
n
k = 1
kb n # b n
2 kb
n2 n
n2 a k
k = 1
n2 # nsn + 1d
2
2 s1 + 1 n d
b
x dx =
L0
0
x dx = x dx + x dx
La
La
L0
= - x dx + x dx
L0
L0
=- a2
2
a
b 2
2 .
+ b 2
2 .
b
b
ƒsckd = ck
Regla 5
Regla 1
Ejemplo 4