Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Desde el punto de vista geométrico, las secantes giran alrededor de P y parecen acercarse a
la recta de color más sólido de la figura, que pasa por P siguiendo la misma dirección
que la curva que atraviesa en el punto P. Como veremos, esta recta se denomina tangente
de la curva en P. En vista de que aparentemente la recta pasa por los puntos (14, 0) y (35,
350), tiene una pendiente
350 - 0
= 16.7 moscas/día (aproximadamente).
35 - 14
El día 23, la población se incrementó a una razón de más o menos 16.7 moscas/día.
Las razones a las que cayó la piedra del ejemplo 2 en los instantes t = 1 y t = 2, y la razón
a la que se modificó la población del ejemplo 4 el día t = 23, se denominan razones de
cambio instantáneas. Como sugieren los ejemplos, para encontrar las razones instantáneas
debemos determinar los valores límite de razones promedio. En el ejemplo 4 también se
explicó que la recta tangente a la curva de población en el día 23 representa una posición
límite de las rectas secantes. Las razones instantáneas y las rectas tangentes, conceptos íntimamente
relacionados, aparecen en muchos otros contextos. Para hablar de forma constructiva
acerca de ellas y entender mejor su conexión, es necesario investigar el proceso
por medio del cual se determinan los valores límite, o simplemente límites, como los llamaremos
de aquí en adelante.
Límites de valores de funciones
Aunque nuestros ejemplos han sugerido la idea de límite, es necesario dar una definición
informal de dicho concepto. Sin embargo, pospondremos la definición formal hasta contar
con más información.
Sea f(x) definida en un intervalo abierto alrededor de x 0, excepto, posiblemente, en el
mismo punto x 0. Si f(x) se acerca tanto como queramos a L (tanto como queramos) para toda
x lo suficientemente cerca de x 0, decimos que f se aproxima al límite L cuando x se
acerca a x 0, y escribimos
lím ƒsxd = L,
x:x0
el cual se lee como “el límite de f(x) cuando x tiende a x0 es L”. En esencia, la definición
afirma que los valores de f(x) están cerca del número L siempre que x está cerca de x0 (por
cualesquiera de los lados de x0). Esta definición es “informal” ya que frases como tanto
como queramos y suficientemente cerca son imprecisas; su significado depende del contexto.
Para un mecánico que fabrica un pistón, cerca significa milésimas de pulgada. Para
un astrónomo que estudia las galaxias distantes, cerca significa algunos miles de años luz.
A pesar de ello, la definición es lo bastante clara para permitirnos reconocer y evaluar límites
de funciones específicas; no obstante, cuando probemos teoremas relacionados con
límites —en la sección 2.3—, necesitaremos una definición más precisa.
EJEMPLO 5 Comportamiento de una función cerca de un punto
¿Cómo se comporta la función
ƒsxd =
al estar cerca de x = 1?
x2 - 1
x - 1
Solución La fórmula dada define a f para todos los números reales x, excepto x = 1 (no
es posible dividir entre cero). Para cualquier x Z 1, podemos simplificar la fórmula factorizando
el numerador y eliminando los factores comunes:
ƒsxd =
sx - 1dsx + 1d
x - 1
2.1 Razón de cambio y límites 77
= x + 1 para x Z 1.