Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

190 Capítulo 3: Derivadas
a. Para ver qué tan rápidamente converge el cociente de diferencias
centradas de f(x) = sen x a ƒ¿sxd = cos x, grafique
y = cos x junto con
y =
en el intervalo [-p, 2p] para h = 1, 0.5 y 0.3. Compare los
resultados con los que obtuvo en el ejercicio 51 para los mismos
valores de h.
b. Para ver qué tan rápidamente converge el cociente de diferencias
centradas de f(x) = cos x a ƒ¿sxd = -sen x, grafique
y = –sen x junto con
y =
sensx + hd - sensx - hd
2h
cossx + hd - cossx - hd
2h
en el intervalo [-p, 2p] para h = 1, 0.5 y 0.3. Compare los
resultados con los que obtuvo en el ejercicio 52 para los mismos
valores de h.
54. Una advertencia acerca de los cocientes de diferencias centradas
(Continuación del ejercicio 53). El cociente
ƒsx + hd - ƒsx - hd
2h
puede tener límite cuando h : 0 aunque f no tenga derivada en x.
Como ejemplo de ello, tomamos ƒsxd = ƒ x ƒ y calculamos
ƒ 0 + h ƒ - ƒ 0 - h ƒ
lím
.
h:0 2h
Como verá, el límite existe aun cuando ƒsxd = ƒ x ƒ no tiene derivada
en x = 0. Moraleja: Antes de usar el cociente de diferencias
centradas asegúrese de que la derivada existe.
T 55. Pendientes en la gráfica de la función tangente Grafique juntas
y = tan x y su derivada en s -p>2, p>2d. ¿La gráfica de la función
tangente parece tener una pendiente más pequeña o una más grande?
¿La pendiente es negativa en algún punto? Justifique sus respuestas.
3.5
Regla de la cadena y ecuaciones paramétricas
T 56. Pendientes en la gráfica de la función cotangente Grafique
juntas y = cot x y su derivada para 0 6 x 6 p. ¿La gráfica de la
función cotangente parece tener una pendiente más pequeña o
una más grande? ¿La pendiente es positiva en algún punto? Justifique
sus respuestas.
T 57. Explorando (sen kx)) / x Grafique juntas y = (sen 2x)Nx, y =
(sen 2x) y y = (sen 4x)Nx en el intervalo -2 … x … 2. ¿En dónde
parece que cada gráfica corta el eje y? ¿Realmente la gráficas
cortan el eje? ¿Qué cree que harían las gráficas de y = (sen 5x)Nx
y y = (sen(–3x))Nx cuando x : 0? ¿Por qué? ¿Qué pasaría con la
gráfica de y = (sen kx)Nx para otros valores de k? Justifique sus
respuestas.
T
58. Radianes versus grados: derivadas en modo grados ¿Qué sucede
con las derivadas de sen x y cos x si x se mide en grados en
lugar de hacerlo en radianes? Para averiguarlo, siga estos pasos.
a. Con su calculadora graficadora o computadora en el modo
grados, grafique
ƒshd =
y estime límh:0 ƒshd. Compare su estimación con p>180.
¿Hay alguna razón para creer que el límite debiera ser
p>180?
b. Con su calculadora graficadora todavía en modo grados,
estime
lím
h:0
sen h
h
cos h - 1
.
h
c. Ahora regrese a la deducción de la fórmula para la derivada
del sen x que se comentó en el texto, y lleve a cabo los pasos
indicados usando los límites en el modo grados. ¿Qué fórmula
obtuvo para la derivada?
d. Deduzca la fórmula de la derivada de cos x usando los límites
en el modo grados. ¿Qué fórmula obtuvo para la derivada?
e. Las desventajas de derivar las fórmulas en modo grados se
hacen evidentes a medida que se calculan derivadas de orden
superior. Inténtelo. ¿Cuáles son las segunda y tercera derivadas,
en modo grados, de sen x y cos x?
Sabemos cómo derivar y pero, ¿cómo derivar una
función compuesta como Fsxd = ƒsgsxdd = sen sx Las fórmulas de diferenciación
que hemos estudiado hasta aquí no nos dicen cómo calcular F¿sxd. Entonces, ¿cómo
encontrar la derivada de F = ƒ g? La respuesta es, con la regla de la cadena, que dice
que la derivada de la composición de dos funciones diferenciables es el producto de sus
derivadas evaluadas en puntos apropiados. La regla de la cadena es una de las reglas de diferenciación
más importantes y más usadas. En esta sección se describirá dicha regla y cómo
usarla. Después la aplicaremos para describir curvas en el plano y sus rectas tangentes
de otra manera.
2 u = gsxd = x
- 4d?
2 y = ƒsud = sen u
- 4,