Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

488 Capítulo 7: Funciones trascendentes
BIOGRAFÍA HISTÓRICA
Siméon Denis Poisson
(1781-1840)
EJEMPLO 3 Evaluación de funciones exponenciales
(a)
(b)
En la siguiente sección estudiaremos el cálculo de funciones exponenciales generales y de
sus inversas. Aquí necesitamos solamente la definición para establecer las leyes de los exponentes
para ex 2
.
p = ep ln 2 L e2.18 2
L 8.8
23 = e 23 ln 2 L e1.20 L 3.32
Leyes de los exponentes
Aun cuando e x está definida de manera indirecta como obedece las leyes conocidas
del álgebra para exponentes. El teorema 3 nos muestra que estas leyes son consecuencia de
las definiciones de ln x y e x ln
.
-1 x,
TEOREMA 3 Leyes de los exponentes para
Para todos los números x, x1 y x2, la exponencial natural e x cumple las leyes siguientes:
1.
2. e -x = 1
ex ex1 e
# x2 e x1 + x2 = e x
3.
e x1
e x2 = ex1 - x2
4. se x1 d x2 = e x1 x2 = se x2 d x1
Demostración de la ley 1 Sean
Entonces,
y1 = e x1 y y2 = e x2 .
x1 = ln y1 y x2 = ln y2
x1 + x2 = ln y1 + ln y2
= ln y1 y2
e x1 + x2 = e ln y1 y2
= y1 y2
Regla del producto para logaritmos
Exponenciando
= e
La demostración de la ley 4 es similar. Las leyes 2 y 3 se obtienen a partir de la ley 1 (ejercicio
78).
x1
e
x2 e .
ln u = u
EJEMPLO 4 Aplicación de las leyes de los exponentes
(a) Ley 1
(b) Ley 2
(c) Ley 3
(d) se Ley 4
3 d x = e 3x = se x d 3
e2x e
1
e = e2x- -ln x = 1
eln x = 1 e
x
x+ ln 2 = ex # ln 2 x e = 2e
Tomar logaritmos de ambos
lados de las ecuaciones (4)
(4)