Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Sustitución e integración por partes
Evalúe las integrales en los ejercicios 25 a 30, usando una sustitución
antes de la integración por partes.
25. 26. x21 - x dx
L0
L e 23s + 9 ds
p>3
27. 28.
L ln sx + x2 x tan d dx
L0
2 x dx
29. 30.
L zsln zd2 sen sln xd dx
dz
L
Teoría y ejemplos
31. Cálculo de un área Determine el área de la región acotada por
la curva y = x sen x y el eje x (vea la figura siguiente) para
a. 0 … x … p b. p … x … 2p c. 2p … x … 3p.
d. ¿Ve algún patrón? ¿Cuál es el área entre la curva y el eje x
para np … x … sn + 1dp, n es un entero no negativo arbitrario?
Justifique su respuesta.
10
32. Cálculo de un área Determine el área de la región acotada por
la curva y = x cos x y el eje x (vea la figura siguiente) para
a. p>2 … x … 3p>2 b. 3p>2 … x … 5p>2
c. 5p>2 … x … 7p>2.
5
–5
d. ¿Ve algún patrón? ¿Cuál es el área entre la curva y el eje x
para
2n - 1
2n + 1
a bp … x … a bp,
2
2
n es un entero positivo arbitrario? Justifique su respuesta.
10
0
–10
y
y
0 2
2
3
2
y x sen x
y x cos x
5
2
1
3
7
2
x
x
8.2 Integración por partes 569
33. Cálculo de un volumen Determine el volumen del sólido generado
al hacer girar, alrededor del eje x, la región en el primer cuadrante
acotada por los ejes coordenados, la curva y = e x y la recta
x = ln 2 alrededor de la recta x = ln 2.
34. Cálculo de un volumen Determine el volumen del sólido generado
al hacer girar la región en el primer cuadrante acotada por
los ejes coordenados, la curva y = e y la recta x = 1, alrededor
-x ,
a. del eje y. b. de la recta x = 1.
35. Cálculo de un volumen Determine el volumen del sólido generado
al hacer girar la región en el primer cuadrante acotada
por los ejes coordenados, la curva y = cos x, 0 … x … p>2, alrededor
a. del eje y. b. de la recta x = p>2.
36. Cálculo de un volumen Determine el volumen del sólido generado
al hacer girar la región acotada por el eje x y la curva
y = x sen x, 0 … x … p, alrededor
a. del eje y. b. de la recta x = p.
(Vea la gráfica del ejercicio 31).
37. Valor promedio Una fuerza de retardo, simbolizada en la figura
por el amortiguador, reduce el movimiento de un resorte al que
se ha aplicado un peso, de modo que la posición de la masa en el
instante t es
Determine el valor promedio de y en el intervalo 0 t 2p.
0
y
y = 2e -t cos t, t Ú 0.
y
Masa
Amortiguador
38. Valor promedio En un sistema masa-resorte-amortiguador como
el del ejercicio 37, la posición de la masa en el instante t es
y = 4e -t ssen t - cos td, t Ú 0.
Determine el valor promedio de y en el intervalo 0 t 2p.