Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

546 Capítulo 7: Funciones trascendentes
Cables colgantes
87. Imagine un cable, como los de teléfono o telecable, que está tendido
entre dos soportes y cuelga libremente. El peso del cable por
unidad de longitud es w y la tensión horizontal en el punto más
bajo es un vector de longitud H. Si elegimos un sistema coordenado
para el plano del cable, en el cual el eje x sea horizontal, la
fuerza de gravedad apuntara hacia abajo, el extremo positivo del
eje y hacia arriba, y el punto más abajo del cable se localizara en
y = H>w sobre el eje y (vea la figura siguiente); entonces será
posible demostrar que la posición del cable coincide con la gráfica
del coseno hiperbólico
y = H w
Cable
colgante
H
0
y
En ocasiones, a este tipo de curvas se les denomina curvas de la
cadena o catenarias, término que proviene del latín catena, que
significa cadena.
a. Sea P(x, y) un punto arbitrario sobre el cable. La figura siguiente
ilustra la tensión en P como un vector de longitud
(magnitud) T, así como también la tensión H en el punto más
bajo A. Demuestre que la pendiente del cable en P es
tan f = dy
dx
cosh w
H x.
y
H
cosh
w
x
w H
= senh w
H x.
b. Utilizando el resultado de la parte (a) y sabiendo que la tensión
en P debe ser igual a H (el cable no se está moviendo),
demuestre que T = wy. En consecuencia, la magnitud de la
tensión en P(x, y) es exactamente igual al peso de y unidades
de cable.
Capítulo 7 Preguntas de repaso
1. ¿Qué funciones tienen inversas? ¿Cómo sabe si dos funciones f y
g son inversas una de la otra? Proporcione ejemplos de funciones
que sean (o no sean) inversas una de la otra.
2. ¿Cómo se relacionan los dominios, rangos y gráficas de funciones
y sus inversas? Dé un ejemplo.
H w
x
H
0
y
y
H
cosh
w
x
w H
P(x, y)
88. (Continuación del ejercicio 87). La longitud del arco AP de la figura
del ejercicio 87 es s = s1>ad senh ax, donde a = w>H. Demuestre
que es posible expresar las coordenadas de P en términos
de s como:
x = 1 a senh-1 as, y = s
A 2 + 1
. 2
a
89. Comba y tensión horizontal en un cable Los extremos de un
cable de 32 pies de longitud y 2 lb> pie de peso están sujetos al
mismo nivel a postes ubicados a 30 pies de distancia uno del otro.
a. Haga un modelo del cable con la ecuación
T
T
T
⎛
A
⎝
0,
⎛
⎝ H w
y = 1 a cosh ax, -15 … x … 15.
T
T cos
Utilice la información del ejercicio 88 para demostrar que a
satisface la ecuación
16a = senh 15a.
(2)
b. Resuelva gráficamente la ecuación (2), estimando las coordenadas
de los puntos donde las gráficas de las ecuaciones y
= 16a y y = senh 15a se intersecan en el plano ay.
c. Resuelva numéricamente la ecuación (2) para a. Compare esta
solución con el valor que encontró en el inciso (b).
d. Estime la tensión horizontal del cable en su punto más bajo.
e. Utilizando el valor que encontró para a en el inciso (c), trace
la gráfica de la catenaria
y = 1 a cosh ax
en el intervalo -15 … x … 15. Estime la comba en el centro
del cable.
3. ¿Cómo es posible expresar (en ocasiones) la inversa de una función
de x como una función de x?
4. ¿En qué circunstancias se puede asegurar que la inversa de una
función es diferenciable? ¿Cómo se relacionan las derivadas de f
y ƒ ?
-1
x